[论文解读] Efficient approximate unitary t-designs from partially invertible universal sets and their application to quantum speedup

Rawad Mezher, Joe Ghalbouni+2 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

本文通过使用部分可逆通用门集，构建了高效的近似酉 $t$-设计——放宽了以往对逆封闭和代数元素门集的要求——从而实现了新型量子线路与基于测量的量子计算（MBQC）构造。作者证明，对 $n$-量子比特簇态进行任意固定角度测量分配，几乎必然可生成高效的 $t$-设计，并在标准复杂性假设下实现量子加速。

ABSTRACT

At its core a $t$-design is a method for sampling from a set of unitaries in a way which mimics sampling randomly from the Haar measure on the unitary group, with applications across quantum information processing and physics. We construct new families of quantum circuits on $n$-qubits giving rise to $\varepsilon$-approximate unitary $t$-designs efficiently in $O(n^3t^{12})$ depth. These quantum circuits are based on a relaxation of technical requirements in previous constructions. In particular, the construction of circuits which give efficient approximate $t$-designs by Brandao, Harrow, and Horodecki (F.G.S.L Brandao, A.W Harrow, and M. Horodecki, Commun. Math. Phys. (2016).) required choosing gates from ensembles which contained inverses for all elements, and that the entries of the unitaries are algebraic. We reduce these requirements, to sets that contain elements without inverses in the set, and non-algebraic entries, which we dub partially invertible universal sets. We then adapt this circuit construction to the framework of measurement based quantum computation(MBQC) and give new explicit examples of $n$-qubit graph states with fixed assignments of measurements (graph gadgets) giving rise to unitary $t$-designs based on partially invertible universal sets, in a natural way. We further show that these graph gadgets demonstrate a quantum speedup, up to standard complexity theoretic conjectures. We provide numerical and analytical evidence that almost any assignment of fixed measurement angles on an $n$-qubit cluster state give efficient $t$-designs and demonstrate a quantum speedup.

研究动机与目标

• 放宽构建高效近似酉 $t$-设计对通用门集的严格要求，特别是消除对逆封闭和代数元素门的需要。
• 将 $t$-设计的构造扩展至基于图态和固定测量角度的测量基量子计算（MBQC）。
• 证明这些新构造产生可证明困难的采样问题，从而在标准复杂性猜想下暗示量子加速。
• 提供分析与数值证据，表明几乎所有对 $n$-量子比特簇态的固定角度分配均可生成高效的 $t$-设计。
• 表明即使缺乏代数元素或完全逆封闭性，对部分可逆门集的放宽仍能保持 universality 与向 $t$-设计的收敛性。

提出的方法

• 引入‘部分可逆通用门集’的概念——即门集内可能缺乏逆元且包含非代数元素，但仍保持 universality。
• 构建深度为 $O(n^3 t^{12})$ 的量子线路，使用这些放宽后的门集生成 $\varepsilon$-近似 $t$-设计。
• 通过在簇态上定义图小工具（即固定测量角度分配）将线路构造适配至MBQC，使其模拟相同的 $t$-设计行为。
• 利用转移矩阵 $M_t[\mu_B]$ 的谱分析，界定次主导特征值 $|\lambda|$，当 $|\lambda|$ 均匀远离 1 时，表明向 $t$-设计的收敛性。
• 借鉴 [65, 11] 和 [18, 19] 的技术，证明所得门集的 universality，依赖于无理旋转与李代数生成。
• 通过证明从所得 $t$-设计中采样将导致经典多项式时间算法难以处理的问题，从而展示量子加速。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖逆封闭或代数元素通用门集的前提下，构建高效的近似酉 $t$-设计？
• RQ2 当底层门集为部分可逆时，对 $n$-量子比特簇态的固定角度测量分配是否可产生高效的 $t$-设计？
• RQ3 转移矩阵 $M_t[\mu_B]$ 的次主导特征值 $|\lambda|$ 是否在几乎所有此类小工具中均匀远离 1，从而确保向 $t$-设计的收敛？
• RQ4 这些基于MBQC的 $t$-设计能否导致可证明困难的采样问题，从而暗示量子加速？
• RQ5 门集需满足何种条件，才能确保即使在元素非代数且缺少逆元的情况下，生成的集合仍能形成 $t$-设计？

主要发现

• 作者使用部分可逆通用门集，在 $O(n^3 t^{12})$ 线路深度内构建了 $\varepsilon$-近似酉 $t$-设计，显著放宽了以往的技术限制。
• 数值与分析证据表明，几乎所有对 $n$-量子比特簇态的固定角度测量分配均可生成高效的 $t$-设计，支持了关于普遍收敛性的猜想。
• 对于几乎所有 2 量子比特簇态小工具，转移矩阵 $M_t[\mu_B]$ 的次主导特征值 $|\lambda|$ 被一个与 $t$ 无关的常数所界定，表明向 $t$-设计的快速收敛。
• 该构造展示了量子加速：在标准复杂性猜想下，从所得 $t$-设计中采样将导致经典多项式时间算法难以处理的问题。
• 提供了部分可逆通用门集的显式示例——例如使用角度 $\alpha = \pi/6$ 和 $\beta = \arccos(\sqrt{1/3})$——可生成 $U(4)$-通用、非可逆且非代数元素的门集合。
• 证明技术避免了对代数元素或逆封闭性的依赖，转而使用无理旋转与李代数生成，表明这些条件并非 $t$-设计收敛的必要条件。