[论文解读] Efficient Blind Compressed Sensing Using Sparsifying Transforms with Convergence Guarantees and Application to MRI

Saiprasad Ravishankar, Yoram Bresler|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 68被引用 26

一句话总结

本文提出了一种全局收敛的块坐标下降算法，用于盲压缩感知，可从高度欠采样的MRI k空间数据中联合重建图像并学习稀疏化变换。该方法确保收敛至临界点，这些临界点至少是部分全局和局部极小值，从而实现无需事先知晓稀疏化变换的快速、高质量MRI重建。

ABSTRACT

Natural signals and images are well-known to be approximately sparse in transform domains such as Wavelets and DCT. This property has been heavily exploited in various applications in image processing and medical imaging. Compressed sensing exploits the sparsity of images or image patches in a transform domain or synthesis dictionary to reconstruct images from undersampled measurements. In this work, we focus on blind compressed sensing, where the underlying sparsifying transform is a priori unknown, and propose a framework to simultaneously reconstruct the underlying image as well as the sparsifying transform from highly undersampled measurements. The proposed block coordinate descent type algorithms involve highly efficient optimal updates. Importantly, we prove that although the proposed blind compressed sensing formulations are highly nonconvex, our algorithms are globally convergent (i.e., they converge from any initialization) to the set of critical points of the objectives defining the formulations. These critical points are guaranteed to be at least partial global and partial local minimizers. The exact point(s) of convergence may depend on initialization. We illustrate the usefulness of the proposed framework for magnetic resonance image reconstruction from highly undersampled k-space measurements. As compared to previous methods involving the synthesis dictionary model, our approach is much faster, while also providing promising reconstruction quality.

研究动机与目标

• 解决在事先未知稀疏化变换的情况下，从高度欠采样的MRI k空间数据中重建图像的挑战。
• 开发一种高效的优化框架，实现在盲压缩感知设置下同时重建图像并学习稀疏化变换。
• 为非凸盲压缩感知公式提供基于块坐标下降的理论收敛保证。
• 与现有的合成字典方法相比，实现更快的重建速度和具有竞争力的图像质量。

提出的方法

• 采用块坐标下降算法，交替更新图像、稀疏化变换和测量一致性项。
• 使用非凸优化公式，通过障碍函数对变换施加酉约束，并在变换系数上引入促进稀疏性的惩罚项。
• 对图像和变换变量采用最优闭式更新，确保计算效率。
• 通过拉格朗日乘子引入测量一致性项，以强制执行线性测量模型 $Ax = y$。
• 使用类似软阈值化的算子 $H_s(\cdot)$ 在变换域中强制实现稀疏性，并使用障碍函数 $\varphi(W)$ 保持变换的酉性质。
• 提出一种新颖的收敛性分析，证明即使在非凸设置下，也能全局收敛至临界点，且这些临界点为部分全局和部分局部极小值。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管底层优化问题具有非凸性，能否使盲压缩感知实现全局收敛？
• RQ2 如何在未知变换先验知识的情况下，从高度欠采样的MRI测量中高效学习稀疏化变换？
• RQ3 在非凸目标函数下，块坐标下降在盲压缩感知中的理论收敛行为如何？
• RQ4 所提方法能否在保持或提升图像质量的同时，实现比现有合成字典基方法更快的重建速度？
• RQ5 在稀疏性和测量一致性方面，能否为重建图像和学习到的变换提供质量保证？

主要发现

• 所提出的块坐标下降算法能全局收敛至非凸目标函数的临界点，且这些临界点被保证至少为部分全局和部分局部极小值。
• 与基于合成字典的盲压缩感知方法相比，该方法在保持具有竞争力的图像质量的同时，实现了显著更快的重建速度。
• 理论分析表明，收敛性与初始化无关，最终结果仅取决于初始值。
• 在MRI数据上的实证结果表明，所学习的稀疏化变换可从高度欠采样的k空间数据中实现高质量的图像重建。
• 该方法在重建速度方面优于现有方法，并在初始化方面表现出鲁棒性，且在多次试验中均展现出稳定的收敛行为。