[论文解读] Efficient classical algorithms for simulating symmetric quantum systems

Eric R. Anschuetz, Andreas Bauer+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 53被引用 2

一句话总结

本文提出了一种高效的经典算法，用于模拟对称量子系统，特别是置换对称哈密顿量，通过将算符转换为多项式规模的块对角舒尔基，利用张量网络方法和该基中的精确矩阵运算，作者实现了基态和时间演化期望值的多项式时间计算，表明对于此类问题，对称性带来的量子优势并不总是必要的。

ABSTRACT

In light of recently proposed quantum algorithms that incorporate symmetries in the hope of quantum advantage, we show that with symmetries that are restrictive enough, classical algorithms can efficiently emulate their quantum counterparts given certain classical descriptions of the input. Specifically, we give classical algorithms that calculate ground states and time-evolved expectation values for permutation-invariant Hamiltonians specified in the symmetrized Pauli basis with runtimes polynomial in the system size. We use tensor-network methods to transform symmetry-equivariant operators to the block-diagonal Schur basis that is of polynomial size, and then perform exact matrix multiplication or diagonalization in this basis. These methods are adaptable to a wide range of input and output states including those prescribed in the Schur basis, as matrix product states, or as arbitrary quantum states when given the power to apply low depth circuits and single qubit measurements.

研究动机与目标

• 研究经典算法是否能高效模拟具有高度对称性的量子系统，特别是置换对称哈密顿量。
• 确定依赖对称性实现量子优势的量子算法是否可在经典计算机上以多项式时间实现。
• 开发一个基于对称性约化的基的框架，利用经典线性代数计算基态和时间演化可观测量。
• 将该方法扩展至量子位（qudits），并分析运行时间随局部维度和系统尺寸的缩放特性。

提出的方法

• 使用张量网络方法将对称等变算符转换为块对角舒尔基，将希尔伯特空间缩减至多项式规模。
• 将对称化泡利基表示为矩阵乘积算符（MPO），其纠缠维度为 O(n^{d^2-1})，适用于 d 量子位的系统。
• 在舒尔基中执行精确的矩阵乘法和对角化，以计算基态和时间演化。
• 利用克莱布施-戈尔丹系数高效收缩 MPO 张量，保持带状结构以实现低成本运算。
• 利用群表示理论将对称子空间分解为不可约表示，实现高效计算。
• 应用扭转超算符将任意算符投影到不变子空间，确保对称性保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典算法是否能以多项式时间模拟置换对称哈密顿量的基态和时间演化？
• RQ2 在何种条件下，尽管存在潜在的量子优势，量子系统的对称性仍允许实现高效的经典模拟？
• RQ3 对于对称哈密顿量，经典模拟的运行时间如何随系统尺寸和局部量子位维度缩放？
• RQ4 舒尔基是否可用于使用经典线性代数高效表示和计算对称量子算符？
• RQ5 在多大程度上，依赖对称性的量子机器学习模型可使用经典方法实现去量化？

主要发现

• 作者在对称泡利基中实现了置换对称哈密顿量的基态和时间演化期望值的多项式时间经典模拟。
• 计算单个矩阵元 Xi,j^k 的运行时间为 O(n^6)，计算全部 O(n^9) 个系数的运行时间为 O(n^15)，两者均为系统尺寸的多项式函数。
• 对于局部维度为 d 的量子位，运行时间缩放为 O(n^{2d^2 - 1})，虽仍为多项式但随 d 快速增长，例如对三量子位系统为 O(n^{17})。
• 舒尔基使在大小为 n 的多项式空间中实现精确对角化和矩阵乘法成为可能，即使完整希尔伯特空间为指数规模。
• 该方法可适配各种输入和输出态，包括舒尔基中的态、作为矩阵乘积态的态，或通过低深度电路和单量子比特测量访问的任意态。
• 该框架表明，依赖对称性的量子算法并不总能提供计算优势，因为在相同对称性约束下，经典模拟是可行的。