[论文解读] Efficient Computation of Higher-Order Variational Integrators in Robotic Simulation and Trajectory Optimization

Taosha Fan, Jarvis Schultz+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2019

Numerical methods for differential equations被引用 6

一句话总结

本文提出了用于机器人仿真与轨迹优化的高阶变分积分器的首个 O(n) 算法，实现了任意阶积分器的离散欧拉-拉格朗日方程及牛顿方向的线性时间求解。该方法实现了 O(n²) 的离散欧拉-拉格朗日（DEL）方程线性化，相较于以往的 O(n³) 方法在可扩展性和精度方面有显著提升，并在 Atlas 和 LittleDog 等复杂机器人上进行了验证。

ABSTRACT

This paper addresses the problem of efficiently computing higher-order variational integrators in simulation and trajectory optimization of mechanical systems as those often found in robotic applications. We develop $O(n)$ algorithms to evaluate the discrete Euler-Lagrange (DEL) equations and compute the Newton direction for solving the DEL equations, which results in linear-time variational integrators of arbitrarily high order. To our knowledge, no linear-time higher-order variational or even implicit integrators have been developed before. Moreover, an $O(n^2)$ algorithm to linearize the DEL equations is presented, which is useful for trajectory optimization. These proposed algorithms eliminate the bottleneck of implementing higher-order variational integrators in simulation and trajectory optimization of complex robotic systems. The efficacy of this paper is validated through comparison with existing methods, and implementation on various robotic systems---including trajectory optimization of the Spring Flamingo robot, the LittleDog robot and the Atlas robot. The results illustrate that the same integrator can be used for simulation and trajectory optimization in robotics, preserving mechanical properties while achieving good scalability and accuracy.

研究动机与目标

• 解决使用高阶变分积分器模拟和优化高自由度机器人系统时的计算瓶颈问题。
• 克服现有方法在计算牛顿方向和线性化离散欧拉-拉格朗日（DEL）方程时的超线性复杂度（O(n³)）问题。
• 开发一种 O(n) 算法，用于评估 DEL 方程并计算牛顿方向，从而实现高效、高阶的积分。
• 提供一种 O(n²) 算法用于线性化 DEL 方程，这对机器人轨迹优化至关重要。
• 证明同一高阶变分积分器可同时用于仿真与优化，且保持力学不变量。

提出的方法

• 利用树状结构的机械系统与递归算法，高效计算空间雅可比矩阵与质量特性。
• 引入递归前向与后向传递，以 O(n²) 时间计算重力势能的海森矩阵及其导数。
• 采用李群公式表示刚体运动，以数值稳定的方式表达配置与速度。
• 应用递归算法计算重力势能的海森矩阵，实现 DEL 方程的 O(n²) 线性化。
• 设计 O(n) 算法，通过递归扫描实现离散欧拉-拉格朗日方程的评估与牛顿方向的计算。
• 在树状结构中结合符号微分与算法微分，避免密集矩阵运算，保持线性复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有大量自由度的机器人系统，能否实现高阶变分积分器的线性时间计算？
• RQ2 是否可能实现高阶变分积分器中求解离散欧拉-拉格朗日方程的牛顿方向的 O(n) 计算？
• RQ3 能否在 O(n²) 时间内完成 DEL 方程的线性化，从而实现高效的轨迹优化？
• RQ4 所提出的算法是否在实现线性时间复杂度的同时，保持辛结构、动量与能量守恒？
• RQ5 该高阶积分器是否可被有效用于复杂机器人系统中的仿真与轨迹优化？

主要发现

• 所提出的 O(n) 算法用于评估离散欧拉-拉格朗日方程并计算牛顿方向，实现了机械系统中首个已知的线性时间高阶隐式积分器。
• O(n²) 的 DEL 方程线性化算法使高阶精度与可扩展性的高效轨迹优化成为可能。
• 与以往的 O(n³) 方法相比，该方法在计算效率方面表现更优，尤其在自由度较多的系统中优势显著。
• 在 Spring Flamingo、LittleDog 和 Atlas 机器人的验证中，结果证实了其在仿真与优化任务中均具备高精度与可扩展性。
• 同一积分器被成功用于仿真与轨迹优化，且保持了如辛结构与能量守恒等力学不变量。
• 该算法框架使实际应用任意高阶变分积分器成为可能，突破了以往的计算障碍。