[论文解读] Efficient Computation of Newton Polytopes of Specialized Resultants

Ioannis Z. Emiris, Vissarion Fisikopoulos+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 1

一句话总结

本文提出了一种高效、输出敏感的算法，通过使用顶点和面查询的预言机来计算专门化结式（specialized resultants）的牛顿多面体（Newton polytope），避免了昂贵的多面体遍历（polytope walking）。该方法实现了高性能——在两小时内处理了5、6和7维多面体，顶点数最多达35K——并通过哈希技术将计算速度提升了高达100倍，优于低维情况下的热带几何工具，并实现了快速、精确的内部/外部体积近似。

ABSTRACT

We design an algorithm to compute the Newton polytope of the resultant, known as resultant polytope, or its orthogonal projection along a given direction. The resultant is fundamental in algebraic elimination, optimization, and geometric modeling. Our algorithm exactly computes vertex- and halfspace-representations of the polytope using an oracle producing resultant vertices in a given direction, thus avoiding walking on the polytope whose dimension is alpha-n-1, where the input consists of alpha points in Z^n. Our approach is output-sensitive as it makes one oracle call per vertex and facet. It extends to any polytope whose oracle-based definition is advantageous, such as the secondary and discriminant polytopes. Our publicly available implementation uses the experimental CGAL package triangulation. Our method computes 5-, 6- and 7-dimensional polytopes with 35K, 23K and 500 vertices, respectively, within 2hrs, and the Newton polytopes of many important surface equations encountered in geometric modeling in <1sec, whereas the corresponding secondary polytopes are intractable. It is faster than tropical geometry software up to dimension 5 or 6. Hashing determinantal predicates accelerates execution up to 100 times. One variant computes inner and outer approximations with, respectively, 90% and 105% of the true volume, up to 25 times faster.

研究动机与目标

• 解决代数几何与几何建模中高维结式牛顿多面体计算不可行的问题。
• 克服多面体遍历算法在维度和点数增加时性能急剧下降的局限性。
• 开发一种输出敏感的方法，最小化预言机调用次数，避免对顶点和面的穷举枚举。
• 将该方法推广至其他多面体（如伴随多面体和判别式多面体），这些多面体具有基于预言机的定义。
• 为几何建模与优化等实际应用提供高效、高性能的实现。

提出的方法

• 使用能够返回给定方向下结式多面体顶点和面的预言机，实现无需遍历整个多面体结构的精确计算。
• 采用顶点表示与半空间表示相结合的策略，确保每个顶点和每个面仅调用一次预言机，从而保证输出敏感性。
• 利用CGAL三角剖分包进行实验性几何计算，支持高维多面体的构建。
• 引入行列式谓词的哈希技术，加速预言机查询，实现执行时间最高达100倍的加速。
• 实现一种变体，可计算内部和外部体积近似，分别达到真实体积的90%和105%，从而获得性能提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不遍历其整个结构的前提下，高效计算专门化结式的牛顿多面体？
• RQ2 与传统的多面体遍历方法相比，基于预言机的方法在高维结式上的可扩展性和性能表现如何？
• RQ3 几何谓词的哈希在多大程度上能加速结式多面体的计算？
• RQ4 该方法能否推广至其他基于预言机定义的多面体，如伴随多面体和判别式多面体？
• RQ5 与精确计算相比，结式多面体的内部和外部体积近似在准确性和效率方面表现如何？

主要发现

• 该算法在两小时内分别计算了5、6和7维的结式多面体，顶点数分别为35K、23K和500个。
• 在几何建模中，该方法可在1秒内计算出重要曲面方程的牛顿多面体，而其伴随多面体仍难以处理。
• 在维度不超过5或6时，该方法优于现有的热带几何软件。
• 通过哈希行列式谓词，计算速度最高可提升100倍。
• 内部和外部体积近似变体的运行速度比精确计算快达25倍，分别达到真实体积的90%和105%。
• 该方法可推广至其他具有基于预言机定义的多面体，如伴随多面体和判别式多面体。