[论文解读] Efficient computation of p-adic heights

David Harvey|ArXiv.org|Aug 24, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一种显著提升在有理数域上椭圆曲线 $p$-进高度计算速度的方法，尤其适用于大 $p$ 和高 $p$-进精度的情形。通过优化 $p$-进模形式 $\mathbf{E}_2$ 与 $p$-进 $\sigma$ 函数的计算，该方法将 $\mathbf{E}_2$ 模 $p^N$ 的运行时间降低至 $\widetilde{O}(pN^2)$，并使得即使在 $p \sim 10^{11}$ 时也能可行地计算出数千位的 $p$-进精度。

ABSTRACT

We analyse and drastically improve the running time of the algorithm of Mazur, Stein and Tate for computing the canonical cyclotomic p-adic height of a point on an elliptic curve E/Q, where E has good ordinary reduction at p >= 5.

研究动机与目标

• 解决原始 Mazur–Stein–Tate 算法在计算椭圆曲线上 $p$-进高度时缺乏运行时间界限的问题。
• 实现对 $p \geq 5$ 且具有良好普通约化性质的大素数 $p$，在高精度下的 $p$-进高度的实用计算。
• 提供中间计算过程中所需 $p$-进精度的紧致界限，避免不必要的开销。
• 优化算法的渐近时间复杂度，尤其针对大 $p$ 和高精度设置。
• 确保该方法可在标准硬件上实现，支持 $p$-进 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想研究中的应用。

提出的方法

• 使用 Kedlaya 算法计算 Monsky–Washnitzer 上同调上 Frobenius 映射的矩阵，从而高效计算 $\mathbf{E}_2(E,\omega)$ 模 $p^N$。
• 应用一种新方法，以 $\widetilde{O}(pN^2)$ 时间计算 $\mathbf{E}_2(E,\omega)$，当 $p > 6N$ 时，时间复杂度为 $\widetilde{O}(p^{1/2}N^{5/2})$。
• 利用 $\mathbf{E}_2$ 计算模理想 $I_N = (p^r, p^{r-1}t, \dots, t^r)$ 的 $p$-进 $\sigma$ 函数 $\sigma_p(t)$，直至次数 $N-1$。
• 在 $\widetilde{O}(N^2 \log p)$ 时间内计算 $\sigma_p(t)$ 模 $I_N$，该复杂度在对数因子范围内为最优。
• 使用包含 $\sigma_p(t)$ 的归一化 $p$-进高度公式，其校正因子相对于原始归一化方式为 $2p$。
• 应用定理 3，在已知 $\sigma_p(t)$ 模 $I_{M'+1}$ 的前提下，以 $\widetilde{O}(C_P + M\log^2 p + M^2\log p)$ 时间计算 $h_p(P)$ 模 $p^M$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mazur–Stein–Tate 算法计算 $p$-进高度的渐近时间复杂度是多少？如何改进？
• RQ2 对于大素数 $p$ 和高 $p$-进精度，$\mathbf{E}_2(E,\omega)$ 的计算能否加速？
• RQ3 如何高效地模 $I_N$ 计算 $p$-进 $\sigma$ 函数？其最优时间复杂度为何？
• RQ4 为保证在给定精度 $M$ 下输出正确，中间步骤所需的最小 $p$-进精度是多少？
• RQ5 对于 $p \sim 10^{11}$ 或 $M \sim 3000$ 位数字，能否在实践中计算有理点的 $p$-进高度？

主要发现

• $\mathbf{E}_2(E,\omega)$ 模 $p^N$ 的计算可在 $\widetilde{O}(pN^2)$ 时间内完成，当 $p > 6N$ 时，时间复杂度为 $\widetilde{O}(p^{1/2}N^{5/2})$，显著优于先前方法。
• $p$-进 $\sigma$ 函数 $\sigma_p(t)$ 模 $I_N$ 的计算可在 $\widetilde{O}(N^2 \log p)$ 时间内完成，该复杂度在对数因子范围内为最优。
• 对于 $p = 10^{11} + 3$ 且 $M = 6$，算法在 $\mathbf{E}_2$ 计算上耗时不足 42 分钟，最终高度计算几乎瞬时完成，避免了原始方法所需的 $10^{22}$ 位存储空间。
• 对于 $p = 5$ 且 $M = 3000$，算法在 229 秒内完成 $\mathbf{E}_2$ 计算，$\sigma_p(t)$ 计算耗时 158 秒，$h_p(P)$ 计算仅需 6 秒，证明了在高精度下的可行性。
• 该方法避免了原始算法中 $M^4$ 复杂度的幂级数展开，使高精度情形下的运行时间缩短达 $10^7$ 倍。
• 该算法已在 SAGE 中实现并免费提供，支持 $p$-进 $L$-函数与调节子计算中的实际应用。