[论文解读] Efficient conversion from rotating matrix to rotation axis and angle by extending Rodrigues' formula

Kuo Kan Liang|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2018

Advanced Measurement and Metrology Techniques被引用 14

一句话总结

本文提出对罗德里格斯旋转公式的一种简单扩展，通过利用旋转轴的反对称矩阵与旋转矩阵的乘积的迹来提取 sinθ，从而实现从旋转矩阵和给定旋转轴直接且无歧义地计算旋转角。该方法无需人工干预即可解决角度恢复中的符号歧义问题，显著提升了三维几何计算中的效率与正确性。

ABSTRACT

In computational 3D geometric problems involving rotations, it is often that people have to convert back and forth between a rotational matrix and a rotation described by an axis and a corresponding angle. For this purpose, Rodrigues' rotation formula is a very popular expression to use because of its simplicity and efficiency. Nevertheless, while converting a rotation matrix to an axis of rotation and the rotation angle, there exists ambiguity. Further judgement or even manual interference may be necessary in some situations. An extension of the Rodrigues' formula helps to find the sine and cosine values of the rotation angle with respect to a given rotation axis is found and this simple extension may help to accelerate many applications.

研究动机与目标

• 解决在使用罗德里格斯公式时，从旋转矩阵恢复旋转角所存在的歧义问题。
• 消除在已知旋转轴时，选择正确旋转角所需的人工或启发式判断。
• 提供一种计算高效且无歧义的方法，将旋转矩阵转换为旋转轴-角表示。
• 简化并澄清在需要频繁在旋转矩阵与轴-角表示之间转换的应用中的代码。

提出的方法

• 通过推导旋转轴 n 的反对称矩阵 N 与旋转矩阵 R 的乘积的迹，扩展罗德里格斯公式，以获得 sinθ 的表达式。
• 利用标准罗德里格斯公式从 Tr(R) 计算 cosθ，并利用恒等式 Tr(NR) = -2sinθ 计算 sinθ。
• 利用两参数反正切函数（atan2）从 sinθ 和 cosθ 唯一确定 θ，从而解决符号歧义问题。
• 确保该方法计算轻量，仅需标准矩阵运算和迹计算。
• 将该方法应用于从给定旋转矩阵中恢复旋转轴和角度，使用特征系统分析来识别旋转轴。
• 通过 Mathematica 的数值示例展示该方法的鲁棒性，证明其无需人工选择即可正确恢复角度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当已知旋转轴时，如何解决从旋转矩阵恢复旋转角时的符号歧义问题？
• RQ2 罗德里格斯公式的何种扩展能够仅通过矩阵迹实现旋转角的直接且无歧义计算？
• RQ3 所提出的方法能否减少或消除在轴-角转换中对人工判断或复杂启发式方法的需求？
• RQ4 在实际应用中，该方法的计算成本与传统方法相比如何？
• RQ5 该扩展对三维几何与机器人应用中代码的清晰度、正确性与性能有何影响？

主要发现

• 所提出的扩展利用 Tr(NR) = -2sinθ，直接从旋转矩阵 R 和由旋转轴 n 导出的反对称矩阵 N 计算 sinθ。
• 通过结合 Tr(NR) 得到的 sinθ 和 Tr(R) 得到的 cosθ，利用 atan2 函数唯一确定正确旋转角 θ，从而消除歧义。
• 该方法计算开销极小，因为 N 和 R 在标准罗德里格斯公式应用中已预先计算。
• 数值示例证实，即使 -n 也是特征向量，该方法仍能正确恢复 θ = π/6（当轴 n = (1/√2, 1/√2, 0) 时）。
• 该方法可自动选择正确的轴-角对，无需事先知道旋转方向或人工干预。
• 该方法具有普适性，适用于任意三维旋转矩阵，在机器人学、计算机图形学和几何计算中提供一种鲁棒且高效的轴-角转换解决方案。