[论文解读] Efficient Data Structures for Incremental Exact and Approximate Maximum Flow

Gramoz Goranci, Monika Henzinger|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

该论文提出了首个在有向无权图中，针对边插入操作，维护 (1+ϵ)-近似最大 s-t 流的亚线性时间动态算法，实现了 m^{1/2+o(1)}ϵ^{-1/2} 的摊销更新时间。该方法结合了增量单源可达性与有界最大流框架，并利用近期的近线性时间静态最大流算法，实现了在任意良好近似保证下的亚线性性能。

ABSTRACT

We show an (1+ε)-approximation algorithm for maintaining maximum s-t flow under m edge insertions in m^{1/2+o(1)} ε^{-1/2} amortized update time for directed, unweighted graphs. This constitutes the first sublinear dynamic maximum flow algorithm in general sparse graphs with arbitrarily good approximation guarantee. Furthermore we give an algorithm that maintains an exact maximum s-t flow under m edge insertions in an n-node graph in Õ(n^{5/2}) total update time. For sufficiently dense graphs, this gives to the first exact incremental algorithm with sub-linear amortized update time for maintaining maximum flows.

研究动机与目标

• 设计一种动态算法，用于在有向无权图中，通过边插入操作，以亚线性更新时间维护近似最大 s-t 流。
• 克服已知的条件下界，该下界排除了在每步操作 O(m^{1−δ}) 时间内维护精确最大流的可能性（δ>0）。
• 将动态最大流算法的适用范围从无向图扩展至有向图，并在一般稀疏图中实现亚线性性能。
• 提供一个通用框架，将增量有界最大流与静态精确最大流算法相结合，以实现高效的近似动态流维护。

提出的方法

• 提出一种通用框架，将增量有界最大流算法（IncBMF）与静态精确最大流算法结合，以实现 (1+ϵ)-近似动态流维护。
• 使用增量单源可达性（IncSSR）数据结构，在每次边插入后检测残差图中的增广路径。
• 维护一个残差图，并通过 IncSSR 结构沿每条检测到的增广路径逐单位推送流，实现流的增量更新。
• 采用有界最大流机制，将增广步骤数量限制在 µ 以内，确保有界组件的总更新时间为 O(mµ)。
• 引入近期的 m^{1+o(1)}-时间静态最大流算法 [3]，实现接近线性的静态计算时间。
• 选择 µ = m^{1/2+o(1)}ϵ^{-1/2} 以平衡有界流时间与静态流计算时间之间的权衡，从而获得最终的亚线性更新时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在有向无权图中，通过边插入操作，以亚线性摊销更新时间维护 (1+ϵ)-近似最大 s-t 流？
• RQ2 是否可能在一般稀疏图中实现动态最大流的亚线性更新时间，并具备任意良好的近似保证？
• RQ3 我们能否将动态最大流算法从无向图扩展到有向图，并实现高效的更新时间？
• RQ4 在实现亚线性动态性能时，有界最大流维护与静态精确最大流计算之间最优的权衡是什么？

主要发现

• 该论文在 m 次边插入操作下，实现了维护有向无权图中 (1+ϵ)-近似最大 s-t 流的摊销更新时间为 m^{1/2+o(1)}ϵ^{-1/2}。
• 该算法支持 O(1) 的查询时间以获取当前流值，从而实现高效的在线流值报告。
• 这是首个在一般稀疏有向图中实现亚线性更新时间且具有任意良好近似因子的动态算法。
• 该框架具有通用性，可与任意增量有界最大流算法及任意静态精确最大流算法结合使用。
• 该结果依赖于近线性静态最大流算法的存在，而这些算法现已通过近期突破 [3] 实现。
• 该方法为未来实现具有竞争力近似比的完全动态最大流算法奠定了基础。