[论文解读] Efficient decoding for the Hayden-Preskill protocol

Beni Yoshida, Alexei Kitaev|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Cellular Automata and Applications参考文献 13被引用 76

一句话总结

该论文提出两种解码过程，从 Hayden-Preskill 设置中的霍金辐射重构量子态：一种基于概率后选择的传送方法，另一种基于确定性的 Grover 搜索解码器，两者都依赖于混洗以及 OTOC。

ABSTRACT

We present two particular decoding procedures for reconstructing a quantum state from the Hawking radiation in the Hayden-Preskill thought experiment. We work in an idealized setting and represent the black hole and its entangled partner by $n$ EPR pairs. The first procedure teleports the state thrown into the black hole to an outside observer by post-selecting on the condition that a sufficient number of EPR pairs remain undisturbed. The probability of this favorable event scales as $1/d_{A}^2$, where $d_A$ is the Hilbert space dimension for the input state. The second procedure is deterministic and combines the previous idea with Grover's search. The decoding complexity is $\mathcal{O}(d_{A}\mathcal{C})$ where $\mathcal{C}$ is the size of the quantum circuit implementing the unitary evolution operator $U$ of the black hole. As with the original (non-constructive) decoding scheme, our algorithms utilize scrambling, where the decay of out-of-time-order correlators (OTOCs) guarantees faithful state recovery.

研究动机与目标

• 在简化模型下证明信息理论上可行的 Hayden-Preskill 解码。
• 给出两种具体解码过程（概率型与确定性），并分析它们的保真度与复杂性。
• 将解码性能与混洗行为及 OTOCs 联系起来。
• 讨论假设、局限性以及对更现实的热态的潜在扩展。

提出的方法

• 使用一个简化模型，其中黑洞与伙伴是 n 个 EPR 对，环境由 Haar-随机单位演化 U 描述。
• 定义解码保真度参数 delta，并将其与 Delta 与 OTOCs 相关联。
• 提出一个概率解码器，使用对一个 EPR 投影的后选择将日记本传送到 R′，在混洗接近完美时实现高保真度。
• 提出一个基于 Grover 搜索的确定性解码器，应用一系列反射（W 与 W̃A）以放大目标态，达到保真度 1−O(delta)。
• 将解码成功边界用 Delta、delta，以及 dA、dR、dD 表达，并链接到 Rényi-2 mutual information I^(2)(R, DB′)。
• 解释混洗（通过几乎完美的 OTOCs）如何保证态的正确恢复，并将 delta 上界为 dA dR / dD^2。

实验结果

研究问题

• RQ1 在混洗假设下，如何从 Hayden-Preskill 霍金辐射中重构量子态？
• RQ2 具体解码过程（概率型与确定性）及其保真度/复杂度权衡？
• RQ3 OTOCs 与混洗如何量化解码效率与保真度界？
• RQ4 从理想化的 Haar-random 演化转向更现实的热态时的局限性？
• RQ5 解码复杂度如何随输入/输出维度及黑洞演化电路规模增长？

主要发现

• 构建了两种解码过程：一种概率性后选传送方法，成功概率约为 1/(dA dR)，以及一个基于 Grover 搜索的确定性解码器，复杂度 ~ O(√(dA dR) C)。
• 当演化几乎完美混洗且 dD 远大于 √(dAdR) 时，概率解码器的保真度接近 1−O(delta)。
• 确定性解码器通过迭代 Grover 风格的反射实现高保真度；其分析使用将子空间按关键投影 Pi 的特征分量标记的 Grover 旋转。
• Delta 的上界为 Δ ≤ 1/(dA dR) + 1/dD^2，且 delta = dA dR Δ − 1 满足 delta ≤ dA dR / dD^2，从而得到保真度界。
• 保真度界扩展到可分解的输入/输出，并依赖嵌入 Xi 与状态 rhoA，在现实扩展下存在广义的 δ 类量（如 δ̂）。