[论文解读] Efficient energy-preserving numerical approximations for the sine-Gordon equation with Neumann boundary conditions

Qi Hong, Yushun Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2020

Numerical methods for differential equations参考文献 43被引用 6

一句话总结

本论文为具有诺伊曼边界条件的sine-Gordon方程提出了两类全新的全离散能量守恒格式。通过使用余弦伪谱空间离散化方法，结合带有投影或补充变量方法的预测-校正Crank-Nicolson时间格式，该格式实现了高阶精度与精确的能量守恒，数值基准测试表明其具有优异的稳定性和效率。

ABSTRACT

We present two novel classes of fully discrete energy-preserving algorithms for the sine-Gordon equation subject to Neumann boundary conditions. The cosine pseudo-spectral method is first used to develop structure-preserving spatial discretizations under two different meshes, which result two finite-dimensional Hamiltonian ODE systems. Then we combine the prediction-correction Crank-Nicolson scheme with the projection approach to arrive at fully discrete energy-preserving methods. Alternatively, we introduce a supplementary variable to transform the initial model into a relaxation system, which allows us to construct structure-preserving algorithms more easily. We then discretize the relaxation system directly by using the cosine pseudo-spectral method in space and the prediction-correction Crank-Nicolson scheme in time to derive a new class of energy-preserving schemes. The proposed methods can be solved effectively by the discrete Cosine transform. Some benchmark examples and numerical comparisons are presented to demonstrate the accuracy, efficiency and superiority of the proposed schemes.

研究动机与目标

• 开发结构保持型数值方法，精确守恒具有诺伊曼边界条件的sine-Gordon方程的哈密顿能量。
• 克服现有能量守恒方法的局限性，这些方法要么完全非线性、隐式，要么仅守恒修正的能量律。
• 构建高效、高阶精度的格式，保持原始能量守恒律，不引入人为修正。
• 通过保持底层哈密顿系统的几何结构，实现长期稳定的模拟。
• 将能量守恒方法的适用范围扩展至具有复杂动力学（如孤子碰撞）的二维sine-Gordon问题。

提出的方法

• 在两种不同网格（中点和均匀）上采用余弦伪谱方法进行空间离散化，得到半离散哈密顿常微分方程系统。
• 应用预测-校正Crank-Nicolson格式，并结合能量投影技术，实现全离散能量守恒格式。
• 引入一个补充变量，将原系统重构成松弛系统，从而简化结构保持型算法的构造。
• 采用余弦伪谱方法进行空间离散化，Crank-Nicolson格式进行时间离散化，得到一类新型能量守恒格式。
• 利用离散余弦变换（DCT）高效求解所得线性系统，降低计算成本。
• 在每时间步仅需求解一个标量非线性方程，采用牛顿迭代法，其计算量相对于主求解步骤可忽略不计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有诺伊曼边界条件的二维sine-Gordon方程构造出精确守恒原始能量（而非修正版本）的能量守恒格式？
• RQ2 如何在保持哈密顿结构与能量守恒的同时，实现高阶空间精度？
• RQ3 补充变量方法能否简化sine-Gordon方程能量守恒格式的构造？
• RQ4 与现有能量守恒或辛方法相比，所提格式在精度、效率与能量守恒方面表现如何？
• RQ5 不同的补充函数 $ g[u,v] $ 对长期模拟中的数值行为与能量守恒有何影响？

主要发现

• 所提格式在时间方向达到二阶收敛，在空间方向达到谱精度，表现出优异的高阶时间与空间收敛率。
• 能量误差保持在 $ \mathcal{O}(\tau^2) $ 水平，表明具有出色的长期能量守恒性能。
• 补充变量 $ \beta(t) $ 始终接近零，其量级为 $ \mathcal{O}(\tau^2) $，证实了松弛公式的有效性。
• 拉格朗日乘子 $ \lambda(t) $ 在零附近波动，支持了投影方法的一致性。
• 孤子碰撞（包括四个环状孤子）的数值结果与已发表基准结果定性一致，且出色保持了波动力学特性。
• 该格式计算高效，每时间步的非线性求解仅需一次标量牛顿迭代，使得方法具有可扩展性与实用性。