[论文解读] Efficient Exact Paths For Dyck and semi-Dyck Labeled Path Reachability

Phillip G. Bradford|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

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一句话总结

该论文提出了一种 $˜{O}(n^ω)$ 算法，用于在边权为 {-1, +1} 的有向图中精确计算路径可达性，其中 $ω$ 是矩阵乘法指数。该方法将此应用于通过代数图方法高效地确定 Dyck 和半 Dyck 标记路径可达性，通过矩阵乘积和零权边的路径组合实现近乎最优的复杂度。

ABSTRACT

The exact path length problem is to determine if there is a path of a given fixed cost between two vertices. This paper focuses on the exact path problem for costs $-1,0$ or $+1$ between all pairs of vertices in an edge-weighted digraph. The edge weights are from $\{ -1, +1 \}$. In this case, this paper gives an $\widetilde{O}(n^ω)$ exact path solution. Here $ω$ is the best exponent for matrix multiplication and $\widetilde{O}$ is the asymptotic upper-bound mod polylog factors. Variations of this algorithm determine which pairs of digraph nodes have Dyck or semi-Dyck labeled paths between them, assuming two parenthesis. Therefore, determining digraph reachability for Dyck or semi-Dyck labeled paths costs $\widetilde{O}(n^ω)$. A path label is made by concatenating all symbols along the path's edges. The exact path length problem has many applications. These applications include the labeled path problems given here, which in turn, also have numerous applications.

研究动机与目标

• 解决边权为 {-1, +1} 的有向图中路径长度为 $-1$、$0$ 或 $+1$ 的精确路径长度问题。
• 将此解决方案扩展至使用单对括号确定 Dyck 和半 Dyck 语言的可达性。
• 通过利用代数图方法和矩阵乘法，提供一种近乎最优的标记路径可达性算法。
• 证明 Dyck 和半 Dyck 约束可达性可在 $\widetilde{O}(n^\omega)$ 时间内计算，借助零权路径组合。

提出的方法

• 该算法通过识别具有平衡 $+1$ 和 $-1$ 边权的路径，利用传递闭包构造一组零权边 $E^*$。
• 它使用代数图方法，特别是 AGMY 矩阵乘积，在 $\{ -1, 0, +1 \}$ 半环上通过矩阵乘法计算可达性。
• 该方法通过将 $\pm1$ 权重边与 $E^*$ 中的零权边组合，以发现所有 $\pm1$ 权重路径。
• 它采用递归组合策略，利用零权路径将 $\pm1$ 边连接成长的 $\pm1$ 路径。
• 该算法依赖于 Dyck 和半 Dyck 路径需要平衡括号的性质，这可转化为净零权路径。
• 它利用矩阵乘法算法的已知改进，将时间复杂度降低至 $\widetilde{O}(n^\omega)$，排除多对数因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于边权为 $\{-1,+1\}$ 的有向图，能否在近乎最优时间内解决 $\kappa \in \{-1, 0, +1\}$ 的精确路径长度问题？
• RQ2 是否存在一种高效方法，通过代数方法计算带标签有向图上 Dyck 和半 Dyck 语言的可达性？
• RQ3 能否在不显式枚举所有路径的情况下，利用零权路径高效组合 $\pm1$ 权重路径？
• RQ4 使用矩阵乘法技术计算 Dyck 和半 Dyck 路径可达性的渐近时间复杂度是多少？
• RQ5 如何将 $\pm1$ 路径可达性问题约化为矩阵运算，以实现 $\widetilde{O}(n^\omega)$ 时间复杂度？

主要发现

• 在边权为 {-1,+1} 的有向图中，$\kappa \in \{-1, 0, +1\}$ 的精确路径长度问题可在 $\widetilde{O}(n^\omega)$ 时间内求解。
• 在具有两个括号符号的有向图中，Dyck 和半 Dyck 标记路径可达性可在 $\widetilde{O}(n^\omega)$ 时间内计算。
• 通过平衡 $+1$ 和 $-1$ 边序列形成的零权路径被用于高效组合 $\pm1$ 权重路径。
• 该算法使用 AGMY 矩阵乘积计算可达性，通过代数图方法实现近乎最优的复杂度。
• 该方法将问题约化为具有多对数开销的矩阵乘法，利用了已知的矩阵乘法算法改进。
• 该方法适用于 Dyck 和半 Dyck 语言，后者允许同时进行左和右逆向约化。