[论文解读] Efficient Graph Algorithms for Network Analysis

Tong-Wook Shinn, Tadao Takaoka|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种高效算法，用于在单位边权的有向图上求解1-中心图中心（GC）和图瓶颈（GB）问题，通过在布尔矩阵幂上进行二分查找，避免了完整的全源最短路径（APSP）计算。该方法实现了 Õ(n².³⁷³) 的时间复杂度，优于此前 GC 和 GB 问题的 O(n².⁵⁷⁵) 和 O(n².⁶⁸⁸) 时间复杂度，并引入了 SP-AF 问题，通过定义距离/流量半环结构，利用弗洛伊德算法在该结构上计算所有流量值下的最短路径。

ABSTRACT

The GC problem is to identify a pre-determined number of center vertices such that the distances or costs from (or to) the centers to (or from) other vertices is minimized. The bottleneck of a path is the minimum capacity of edges on the path. The Bottleneck Paths (BP) problem is to compute the paths that give us the maximum bottleneck values between pairs of vertices. The Graph Bottleneck (GB) problem is to find the minimum bottleneck value out of bottleneck paths for all possible pairs of vertices. We give two similar algorithms that are based on binary search to solve the 1-center GC problem and the GB problem on directed graphs with unit edge costs. We achieve $ ilde{O}(n^{2.373})$ worst case time complexity for both the 1-center GC problem and the GB problem, where $n$ is the number of vertices in the graph. This is better than the straightforward methods of solving the two problems in $O(n^{2.575})$ and $O(n^{2.688})$ time bounds, respectively. We then combine the Bottleneck Paths (BP) problem with the well known Shortest Paths (SP) problem to compute the shortest paths for all possible flow values. We call this problem the Shortest Paths for All Flows (SP-AF) problem. We show that if the flow demand is uncertain, but between two consecutive capacity values, the unique shortest path can be computed to push that flow. If the uncertainty stretches over two intervals, we need to prepare two shortest paths to accommodate the uncertainty, etc. In introducing this new problem, we define a new semi-ring called the distance/flow semi-ring, and show that the well known algorithm by Floyd can be used over the distance/flow semi-ring to solve the All Pairs Shortest Paths for All Flows (APSP-AF) problem.

研究动机与目标

• 开发更快的算法以解决网络分析中的1-中心图中心（GC）和图瓶颈（GB）问题。
• 通过在矩阵幂上进行二分查找，避免全源最短路径（APSP）和全源瓶颈路径（APBP）计算的高昂开销。
• 通过定义距离/流量半环并推广弗洛伊德算法，引入并求解所有流量下的最短路径（SP-AF）问题。
• 与现有方法相比，实现 GC 和 GB 问题更优的渐近时间复杂度。
• 通过处理不可比较的距离-流量对，实现对不同流量需求下最短路径的高效计算。

提出的方法

• 通过重复平方邻接矩阵 B 来计算可达性，随路径长度递增，作为对直径 Δ 进行二分查找的基础。
• 采用布尔矩阵乘法框架，其中 B^ℓ 捕获所有在 ℓ 条边内可达的点对，支持对最优中心半径进行二分查找。
• 对阈值 t 进行二分查找，以确定最小的 Δ，使得 P(C) = 1，其中 P(C) 用于检查是否存在某个顶点能在 t 步内到达所有其他顶点。
• 引入一个距离/流量半环，其中每个矩阵元素存储按自然序排序的不可比较（距离，流量）对集合。
• 将弗洛伊德的全源最短路径算法推广，用于在距离/流量半环上计算闭包 A*，从而解决 APSP-AF 问题。
• 设计一种自定义乘法过程，用于对（距离，流量）对集合进行合并，通过比较流量值实现在 O(|x| + |y|) 时间内完成。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不计算完整 APSP 的前提下，将 1-中心图中心问题的求解时间快于 O(n².⁵⁷⁵)？
• RQ2 能否通过避免显式计算 APBP，将图瓶颈问题的求解时间控制在 O(n².⁶⁸⁸) 以下？
• RQ3 如何高效计算网络中顶点对之间所有可能流量值下的最短路径？
• RQ4 能否定义一种半环结构，以支持距离与流量信息的组合，从而实现高效的全源计算？
• RQ5 是否可以使用矩阵幂上的二分查找，来确定 1-中心的最小半径，而无需进行完整的 APSP 计算？

主要发现

• 1-中心 GC 问题在 Õ(n².³⁷³) 时间内求解，优于此前 Zwick（2002）提出的 O(n².⁵⁷⁵) 最优时间复杂度。
• 图瓶颈（GB）问题在 Õ(n².³⁷³) 时间内求解，优于此前 Duan 和 Pettie（2009）提出的 O(n².⁶⁸⁸) 时间复杂度。
• SP-AF 问题通过距离/流量半环形式化，支持所有流量值下最短路径的计算。
• 在距离/流量半环上使用推广的弗洛伊德算法，APSP-AF 问题可在 O(tn³) 时间内求解，其中 t 为不同容量的数量。
• 不可比较（距离，流量）对集合的乘法操作在 O(|x| + |y|) 时间内完成，支持高效的半环运算。
• 通过在矩阵幂上进行二分查找，避免了完整的 APSP 和 APBP 计算，显著降低了时间复杂度。