[论文解读] Efficient Hamiltonian Simulation for Solving Option Price Dynamics

Javier Gonzalez-Conde, Ángel Rodríguez‐Rozas+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种数字量子算法，通过哈密顿量模拟将期权定价中的布莱克-斯科尔斯偏微分方程映射为薛定谔方程。利用一个辅助量子比特将非厄米哈密顿量嵌入更大的希尔伯特空间，并应用周期性边界条件以稳定模拟，该方法在容错量子计算机上实现了9量子比特的类经典精度，且后选择成功概率超过60%。

ABSTRACT

Pricing financial derivatives, in particular European-style options at different time-maturities and strikes, means a relevant problem in finance. The dynamics describing the price of vanilla options when constant volatilities and interest rates are assumed, is governed by the Black-Scholes model, a linear parabolic partial differential equation with terminal value given by the pay-off of the option contract and no additional boundary conditions. Here, we present a digital quantum algorithm to solve Black-Scholes equation on a quantum computer by mapping it to the Schrödinger equation. The non-Hermitian nature of the resulting Hamiltonian is solved by embedding its propagator into an enlarged Hilbert space by using only one additional ancillary qubit. Moreover, due to the choice of periodic boundary conditions, given by the definition of the discretized momentum operator, we duplicate the initial condition, which substantially improves the stability and performance of the protocol. The algorithm shows a feasible approach for using efficient Hamiltonian simulation techniques as Quantum Signal Processing to solve the price dynamics of financial derivatives on a digital quantum computer. Our approach differs from those based on Monte Carlo integration, exclusively focused on sampling the solution assuming the dynamics is known. We report expected accuracy levels comparable to classical numerical algorithms by using 9 qubits to simulate its dynamics on a fault-tolerant quantum computer, and an expected success probability of the post-selection procedure due to the embedding protocol above 60%.

研究动机与目标

• 开发一种基于数字量子计算的量子算法，用于求解金融期权定价中的布莱克-斯科尔斯PDE。
• 通过在扩展的希尔伯特空间中进行酉嵌入，解决由布莱克-斯科尔斯方程产生的非厄米哈密顿量的挑战。
• 通过在离散动量算符中引入周期性边界条件，提升数值稳定性和性能。
• 在容错量子计算机上，仅使用最少的量子比特（9个量子比特），证明该方法在可行性与精度上可与经典数值方法相媲美。
• 为将该方法推广至更复杂的PDE（如具有时间依赖或价格依赖波动率的模型，或耦合期权）奠定基础。

提出的方法

• 通过将时间演化重新解释为非厄米哈密顿量下的酉动力学，将布莱克-斯科尔斯PDE映射为薛定谔方程。
• 利用单个辅助量子比特将非厄米哈密顿量嵌入更大的希尔伯特空间，以实现酉时间演化。
• 对离散动量算符应用周期性边界条件，从而实现初始态的重复，增强模拟稳定性。
• 使用量子信号处理技术实现高效的哈密顿量模拟，以随时间演化量子态。
• 通过后选择将最终态投影到目标计算子空间，其中辅助量子比特被测量为|0⟩。
• 利用从归一化条件推导出的因子Λ对最终态进行归一化，以提取期权价格。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管具有非厄米性质，是否能够通过哈密顿量模拟技术在数字量子计算机上高效模拟布莱克-斯科尔斯PDE？
• RQ2 如何以最小的量子比特开销，将由布莱克-斯科尔斯方程产生的非厄米哈密顿量嵌入酉演化框架？
• RQ3 周期性边界条件对金融PDE量子模拟的稳定性和准确性有何影响？
• RQ4 该量子算法在仅使用9个量子比特的情况下，能在多大程度上实现与经典数值求解器相当的精度？
• RQ5 该方法是否可推广至求解更复杂的PDE，如具有随机或空间依赖波动率的模型？

主要发现

• 在容错量子计算机上模拟布莱克-斯科尔斯方程时，该算法实现了与经典数值方法相当的数值精度。
• 使用单个辅助量子比特可有效将非厄米哈密顿量嵌入酉演化，实现稳定模拟。
• 辅助量子比特被测量为|0⟩态的后选择成功概率超过60%，表明该协议具有高效率。
• 由于周期性边界条件导致的初始态重复，显著提升了模拟的稳定性和性能。
• 该方法可扩展至具有时间依赖或价格依赖波动率的模型，这些模型无解析解，因而提供了有意义的数值方法。
• 通过修改边界条件和收益函数，该框架可适应模拟其他金融衍生品，包括美式期权和亚式期权。