[论文解读] Efficient IMEX Runge-Kutta methods for nonhydrostatic dynamics

Andrew Steyer, Christopher J. Vogl+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2019

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文提出了一类新的隐-显 Runge-Kutta (IMEX RK) 方法——IMKG2 和 IMKG3——专为使用水平显式、垂直隐式（HEVI）分解的非静力大气模型实现高效时间积分而设计。这些方法实现了三阶精度，并具有较大的稳定性区域，在 HOMME-NH 模型中相较于现有 IMEX 方法展现出更优的效率与稳定性。

ABSTRACT

We analyze the stability and accuracy (up to third order) of a new family of implicit-explicit Runge-Kutta (IMEX RK) methods. This analysis expedites development of methods with various balances in the number of explicit stages and implicit solves. We emphasize deriving methods with large stability regions for horizontally explicit vertically implicit (HEVI) partitionings of nonhydrostatic atmosphere models. The IMKG2 and IMKG3 families of IMEX RK methods are formulated within this framework. The HOMME-NH model with a HEVI partitioning is used for testing the accuracy and stability of various IMKG2-3 methods. The efficiency of several IMKG2-3 methods is demonstrated in HOMME-NH and compared to other IMEX RK methods in the literature.

研究动机与目标

• 开发适用于处理非静力大气模型中由刚性垂直动力学引起的多重时间尺度的高效时间积分方法。
• 通过设计具有大稳定性区域的 IMEX Runge-Kutta 格式，解决半隐式时间积分中的稳定性与精度挑战。
• 优化 IMEX 方法中显式与隐式阶段之间的平衡，以降低计算成本，同时保持精度。
• 在采用 HEVI 分解的真实非静力大气模型（HOMME-NH）中评估新 IMEX 方法的性能。
• 为推导具有可定制阶段数与稳定性特性的 IMEX RK 方法提供系统性框架。

提出的方法

• 作者提出了一个新家族的 IMEX Runge-Kutta 方法（IMKG2 和 IMKG3），其内部阶段数任意，由系数向量 α、β、α̂、β̂ 和 δ̂ 参数化。
• 该方法专为 HEVI 分解设计，其中水平平流显式处理，垂直动力学隐式处理，从而在保持稳定性的同时降低计算成本。
• 稳定性与精度分析达到三阶，重点关注 A-稳定性、刚性衰减（SD）及强强稳定性保持（SSP）特性。
• 方法基于 Butcher 表格框架构建，系数通过确保阶条件与有利的稳定性区域推导得出。
• IMKG2 与 IMKG3 家族包含多个变体（如 232a、242b、354a），具有不同的稳定性与精度权衡，基于数值测试性能选择。
• HOMME-NH 非静力大气模型被用作测试平台，以评估在 HEVI 分解下的时间积分性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地设计 IMEX Runge-Kutta 方法，使其在非静力大气模型中实现三阶精度，同时保持较大的稳定性区域？
• RQ2 隐-显分解的选择（特别是 HEVI）如何影响非静力模型中时间积分的稳定性与效率？
• RQ3 在非静力动力学中，显式与隐式阶段数目的变化对 IMEX 方法的稳定性与精度有何影响？
• RQ4 当应用于 HOMME-NH 模型时，新提出的 IMKG2 和 IMKG3 方法在效率与稳定性方面相较于文献中现有 IMEX RK 方法表现如何？
• RQ5 哪些 IMKG2-3 变体在非静力大气模拟中展现出稳定性、精度与计算成本之间的最佳权衡？

主要发现

• IMKG2 与 IMKG3 家族的 IMEX Runge-Kutta 方法实现了三阶精度，并具备有利的稳定性特性，包括部分变体的 A-稳定性与刚性衰减（SD）。
• IMKG2 的 254c 变体在 HOMME-NH 模型中展现出最佳的稳定性与效率平衡，其单位精度的计算成本优于其他 IMEX 方法。
• 采用 HEVI 分解的 IMKG2-3 方法相比标准 IMEX 方法表现出更优的稳定性，尤其在无需时间步长限制的情况下解析快速垂直重力波。
• IMKG3 的 354a 变体表现出优异的稳定性和精度，具有较大的稳定性区域且无阶数降低，适用于长时间积分。
• 243a 与 253a 变体表现出极佳的 SSP 特性，增强了其在具有陡峭梯度或间断性模拟中的鲁棒性。
• 总体而言，IMKG2-3 方法在 HOMME-NH 模拟中展现出显著的效率提升，单位时间步长的计算成本降低，同时保持高阶精度与稳定性。