[论文解读] Efficient implementation of finite element methods on non-matching and overlapping meshes in 3D

André Massing, Mats G. Larson+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 42被引用 14

一句话总结

本文提出了一种在三维非匹配和重叠网格上高效、通用的Nitsche方法实现，利用计算几何算法进行网格相交检测及切割单元上的积分。该方法仅带来约2倍的性能开销，相比标准FEM，实现了最优收敛率，从而能够稳健模拟流固耦合和重叠域上的弹性等复杂问题。

ABSTRACT

In recent years, a number of finite element methods have been formulated for the solution of partial differential equations on complex geometries based on non-matching or overlapping meshes. Examples of such methods include the fictitious domain method, the extended finite element method, and Nitsche's method. In all of these methods, integrals must be computed over cut cells or subsimplices which is challenging to implement, especially in three space dimensions. In this note, we address the main challenges of such an implementation and demonstrate good performance of a fully general code for automatic detection of mesh intersections and integration over cut cells and subsimplices. As a canonical example of an overlapping mesh method, we consider Nitsche's method which we apply to Poisson's equation and a linear elastic problem.

研究动机与目标

• 解决在三维有限元方法中，由重叠或非匹配网格形成的复杂切割单元积分所面临的计算挑战。
• 通过重叠网格技术，实现对复杂或时变几何形状上PDE问题的稳定、高阶精度求解。
• 将计算几何中的高效算法开发并集成到FEniCS/DOLFIN有限元框架中，以供更广泛的社区使用。
• 展示基于Nitsche方法在复杂3D问题（如线性弹性与流固耦合）上的可行性与性能。
• 为未来应用奠定基础，实现在FEniCS中自动代码生成Nitsche格式。

提出的方法

• 利用基于树的搜索结构，高效检测重叠四面体网格之间的相交。
• 调用计算几何库（CGAL、GTS）并封装进DOLFIN，以从网格相交中计算复杂的多面体切割单元。
• 应用散度定理与势函数，将切割单元上的三维体积分母化为一维边积分，实现高效积分。
• 采用对称化的一致性项与罚项实现Nitsche方法，以弱形式强制界面处的连续性与通量平衡。
• 使用重叠网格与背景网格上连续分段多项式函数的直和构成有限元空间。
• 通过几何基元与自适应积分，自动化弱形式在子单形与切割单元上的组装。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在三维有限元方法中高效实现对任意复杂切割单元的网格相交检测与积分？
• RQ2 与匹配网格上的标准FEM相比，使用重叠网格与Nitsche方法的计算开销是多少？
• RQ3 在重叠网格上使用Nitsche方法是否能对高阶多项式逼近实现最优收敛率？
• RQ4 该方法在如立方体中包含螺旋桨状包含物等复杂几何形状下的表现如何？
• RQ5 该实现能否推广并自动化，以适用于FEniCS等高层FEM框架？

主要发现

• 该实现对重叠网格上的泊松方程与线性弹性问题均实现了最优收敛阶。
• 重叠网格方法的计算开销约为标准FEM组装的两倍，且随着网格尺寸增大，该比例逐渐降低。
• 该方法成功处理了如螺旋桨形包含物等复杂时变几何形状，界面处位移场过渡平滑。
• 通过散度定理与几何势函数实现的三维到一维积分降维，高效计算了切割单元上的积分。
• 该方法具有通用性，可适用于其他方法，如XFEM、浸入界面法以及重叠网格上的间断伽辽金格式。
• 将CGAL与GTS集成到DOLFIN中，为有限元社区提供了稳健、可重用且易访问的工具。