[论文解读] Efficient Independence Testing for Quantum states

Nengkun Yu|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文提出了一种高效的量子态检验方法，用于身份检验与独立性检验，结合了集体测量与独立测量。研究建立了紧致的复制复杂度界限：在集体测量下，多体独立性检验的复制复杂度为 $\tilde{O}(\frac{\Pi d_i}{\epsilon^2})$；在独立测量下，复制复杂度为 $O(\frac{\Pi d_i^2}{\epsilon^2})$，并将其应用于经典-量子系统中的条件独立性检验。

ABSTRACT

We provide simple and efficient testers of problems about quantum independence by collective measurements and independent measurements, respectively. We show that given mixed states $ ho,\sigma\in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d})$, $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ copies are sufficient to test whether $ ho=\sigma$ using independent measurements. Together with the identity tester in collective measurements setting \cite{BOW17}, we prove the following. Given multipartite mixed state $ ho\in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1}\otimes \mathbb{C}^{d_2}\otimes\cdots\otimes\mathbb{C}^{d_m})$, $ ilde{O}(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i}{\epsilon^2})$ copies are sufficient and necessary to test whether $ ho$ is independent, i.e., in the tensor product form, by collective measurements, and $O(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i^2}{\epsilon^2})$ copies are sufficient by independent measurements. Given $ ho_1, ho_2, \cdots, ho_n\in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d})$ in the query model, and $O(\frac{d}{\epsilon^2})$ copies are sufficient and necessary to test whether $ ho_i$s are all identical by collective measurements, $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ copies are sufficient by independent measurements. Given $ ho_1, ho_2, \cdots, ho_n\in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1}\otimes \mathbb{C}^{d_2}\otimes\cdots\otimes\mathbb{C}^{d_m})$, $ ilde{O}(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i}{\epsilon^2})$ copies are sufficient and necessary to test whether $ ho_i$s are independent by collective measurements, and $O(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i^2}{\epsilon^2})$ copies are sufficient by independent measurements. The identity testing and independence testing in $\mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1}\otimes \mathbb{C}^{d_2})$ can be accomplished with $O(\frac{d_1^2d_2^2}{\epsilon^2})$ copies using just local measurements, respectively. This technique is used to provide efficient testers of conditional independence for classical-quantum-quantum states.

研究动机与目标

• 开发基于最少量子态副本数的高效量子态独立性与身份检验方法。
• 比较集体测量与独立测量在量子态检验中的性能表现。
• 建立多体与双体系统中独立性与身份检验所需副本数的紧致上下界。
• 将框架扩展至经典-量子-量子态的条件独立性检验。
• 对不同测量模型与态类型下的副本复杂度进行统一分析。

提出的方法

• 使用集体测量检验多体混合态是否为张量积（独立）形式，实现 $\tilde{O}(\frac{\Pi d_i}{\epsilon^2})$ 的副本复杂度。
• 采用独立测量检验两个混合态 $\rho, \sigma \in \mathcal{D}(\mathbb{C}^d)$ 之间的身份关系，需 $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ 个副本。
• 在集体测量设置下应用 BOW17 的身份检验器，推导出独立性检验的副本复杂度界限。
• 分析在查询模型中检验 $n$ 个副本是否完全相同的问题，使用集体测量时需 $O(\frac{d}{\epsilon^2})$ 个副本，使用独立测量时需 $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ 个副本。
• 通过局部测量将框架扩展至经典-量子-量子态的条件独立性检验。
• 推导出在集体测量与独立测量设置下，对多个子系统中 $n$ 个态的独立性进行检验的副本复杂度界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在使用集体测量时，检验多体量子态是否独立（即处于张量积形式）的最优副本复杂度是多少？
• RQ2 在使用独立测量时，独立性检验的副本复杂度如何随系统维度变化？
• RQ3 使用独立测量检验两个混合态之间的身份关系，最少需要多少个副本？
• RQ4 仅使用局部测量是否能实现双体系统中高效独立性检验？
• RQ5 如何将该框架扩展至经典-量子-量子态的条件独立性检验？

主要发现

• 对于多体态 $\rho \in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{d_m})$ 的独立性检验，使用集体测量时，$\tilde{O}(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i}{\epsilon^2})$ 个副本既充分也必要。
• 使用独立测量时，$O(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i^2}{\epsilon^2})$ 个副本足以检验多体独立性。
• 对于两个混合态 $\rho, \sigma \in \mathcal{D}(\mathbb{C}^d)$ 的身份检验，使用独立测量时，$O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ 个副本已足够。
• 在查询模型中，检验 $n$ 个态 $\rho_1, \dots, \rho_n$ 是否全部相同，使用集体测量需 $O(\frac{d}{\epsilon^2})$ 个副本，使用独立测量需 $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ 个副本。
• 对于双体系统 $\mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1} \otimes \mathbb{C}^{d_2})$，仅使用局部测量即可实现独立性检验，所需副本数为 $O(\frac{d_1^2 d_2^2}{\epsilon^2})$。
• 该框架可借助局部测量技术，实现对经典-量子-量子态条件独立性的高效检验。