[论文解读] Efficient Inner-product Algorithm for Stabilizer States

Héctor J. García, Igor L. Markov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 15

一句话总结

本文提出了一种高效的 $O(n^3)$ 算法，用于计算稳定化子态之间的内积，利用规范电路合成将任意稳定化子态映射为计算基态。主要贡献在于证明了每个 $n$-量子比特稳定化子态恰好有 $4(2^n - 1)$ 个最近邻稳定化子态，通过实验验证，并将该方法扩展至任意量子态的稳定化子框架。

ABSTRACT

Large-scale quantum computation is likely to require massive quantum error correction (QEC). QEC codes and circuits are described via the stabilizer formalism, which represents stabilizer states by keeping track of the operators that preserve them. Such states are obtained by stabilizer circuits (consisting of CNOT, Hadamard and Phase only) and can be represented compactly on conventional computers using Omega(n^2) bits, where n is the number of qubits. Although techniques for the efficient simulation of stabilizer circuits have been studied extensively, techniques for efficient manipulation of stabilizer states are not currently available. To this end, we design new algorithms for: (i) obtaining canonical generators for stabilizer states, (ii) obtaining canonical stabilizer circuits, and (iii) computing the inner product between stabilizer states. Our inner-product algorithm takes O(n^3) time in general, but observes quadratic behavior for many practical instances relevant to QECC (e.g., GHZ states). We prove that each n-qubit stabilizer state has exactly 4(2^n - 1) nearest-neighbor stabilizer states, and verify this claim experimentally using our algorithms. We design techniques for representing arbitrary quantum states using stabilizer frames and generalize our algorithms to compute the inner product between two such frames.

研究动机与目标

• 开发高效算法以操作稳定化子态，这些态在量子纠错和容错量子计算中具有核心作用。
• 解决尽管已知稳定化子电路可高效模拟，但缺乏高效计算稳定化子态之间内积的技术这一问题。
• 设计一种规范电路合成算法，通过结构化的 $H$-$C$-$CZ$-$P$-$H$ 块序列，将任意稳定化子态映射为计算基态。
• 证明并计算验证任意 $n$-量子比特稳定化子态的最近邻稳定化子态的确切数量，这是量子态空间中一个有趣的几何性质。

提出的方法

• 利用先前工作的理论洞见，设计一种规范电路合成算法，通过 $H$-$C$-$CZ$-$P$-$H$ 块结构电路，将任意稳定化子态转换为计算基态。
• 使用稳定化子形式化方法通过稳定化子群的生成元表示稳定化子态，实现 $O(n^2)$ 的经典紧凑表示。
• 实现一种内积算法，通过合成一个将 $|\psi\rangle$ 映射到 $|0\cdots0\rangle$ 的电路，然后测量其与 $|\varphi\rangle$ 的重叠，来计算 $|\braket{\psi|\varphi}|$。
• 将框架推广至稳定化子框架——使用稳定化子态和相位因子表示任意量子态——以扩展内积计算至纯稳定化子态之外。
• 应用该算法验证几何性态：每个 $n$-量子比特稳定化子态恰好有 $4(2^n - 1)$ 个最近邻稳定化子态，定义为内积模长最大但不等于 1 的态。
• 通过在量子码和纠缠态（如 GHZ 态）上的实验评估，表明尽管最坏情况时间复杂度为 $O(n^3)$，但实际性能呈二次方增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意 $n$-量子比特稳定化子态的最近邻稳定化子态的确切数量是多少？该数量能否被证明并计算验证？
• RQ2 能否设计一种高效算法，利用规范电路合成计算两个稳定化子态之间的内积？
• RQ3 如何将稳定化子形式化方法扩展以表示任意量子态？此类广义框架之间的内积是什么？
• RQ4 该内积算法在 GHZ 态和纠错码态等相关量子信息态上的实际性能如何？
• RQ5 能否高效构建规范电路合成算法，以实现快速态变换和内积计算？

主要发现

• 本文证明了每个 $n$-量子比特稳定化子态恰好有 $4(2^n - 1)$ 个最近邻稳定化子态，定义为内积模长最大的非平凡态。
• 内积算法在一般情况下运行时间为 $O(n^3)$，但在实际应用中（如 GHZ 态和量子纠错码态）表现出二次方时间复杂度。
• 该算法通过在多种稳定化子态上的实验评估，成功验证了最近邻数量的理论计数。
• 该框架被推广至稳定化子框架，使得能够计算由稳定化子态叠加表示的任意量子态之间的内积。
• 规范电路合成算法为任意输入稳定化子态生成了 $H$-$C$-$CZ$-$P$-$H$ 块结构电路，从而实现高效的态变换和重叠计算。
• 性能评估表明，该算法在实际中效率很高，对于包括纠缠态和码态在内的多种相关量子态，运行时间呈 $O(n^2)$ 的增长。