[论文解读] Efficient Learning of Quantum States Prepared With Few Non-Clifford Gates

Sabee Grewal, Vishnu Iyer+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文提出了两种针对使用 Clifford 门和 O(log n) 个非 Clifford 门制备的纯态的高效量子态层析算法。第一种算法使用纠缠的双副本测量实现最优效率，而第二种算法使用单副本测量，代价是多项式时间开销。两种算法均在 poly(n, 2^t, 1/ε) 时间和样本数内实现 trace 距离 ε，且在非 Clifford 门数量和量子比特数上均实现高效缩放。

ABSTRACT

We give a pair of algorithms that efficiently learn a quantum state prepared by Clifford gates and $O(\log n)$ non-Clifford gates. Specifically, for an $n$-qubit state $|ψ angle$ prepared with at most $t$ non-Clifford gates, our algorithms use $\mathsf{poly}(n,2^t,1/\varepsilon)$ time and copies of $|ψ angle$ to learn $|ψ angle$ to trace distance at most $\varepsilon$. The first algorithm for this task is more efficient, but requires entangled measurements across two copies of $|ψ angle$. The second algorithm uses only single-copy measurements at the cost of polynomial factors in runtime and sample complexity. Our algorithms more generally learn any state with sufficiently large stabilizer dimension, where a quantum state has stabilizer dimension $k$ if it is stabilized by an abelian group of $2^k$ Pauli operators. We also develop an efficient property testing algorithm for stabilizer dimension, which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 开发针对非 Clifford 门数量较少的纯态的高效量子态层析算法。
• 将态学习的样本和时间复杂度降低至低于 d 维态的标准 Θ(d) 缩放。
• 将学习推广至稳定子维数较大的态，而不仅限于稳定子态。
• 提供一个用于稳定子维数的性质测试算法作为子程序。
• 探索正确学习的可能性——即构造一个仅含少量非 Clifford 门的量子线路以制备目标态。

提出的方法

• 利用量子态的稳定子维数，定义为该态稳定子群大小的对数。
• 通过在 F2^n 上使用辛线性代数，将态层析问题转化为寻找具有高 pψ- 或 qψ- 质量的子空间。
• 采用贝尔差分采样来估计态的 Weyl 系数，从而通过纠缠测量实现高效学习。
• 使用计算差分采样，从单副本测量中估计 Weyl 系数。
• 应用到高权重子空间查找的约化，通过迭代子空间搜索和测量协议求解。
• 开发一种性质测试算法，使用 O(n) 个双副本测量估计稳定子维数，且独立于态的 Weyl 展开大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为使用 O(log n) 个非 Clifford 门制备的态（超越稳定子态）实现高效的量子态层析？
• RQ2 在学习此类态时，纠缠测量与单副本测量协议之间是否存在指数级分离？
• RQ3 能否仅使用单副本测量高效学习稳定子维数较大的态？
• RQ4 单副本方法中对 t 的指数依赖是否必要，或可避免？
• RQ5 所学习的经典描述能否被编译为仅含少量非 Clifford 门的量子线路？

主要发现

• 第一种算法使用纠缠双副本测量，在 poly(n, 2^t, 1/ε) 时间和样本数内学习任意 n 量子比特态，其非 Clifford 门数最多为 t。
• 第二种算法仅使用单副本测量即实现相同目标，代价是运行时间和样本复杂度的多项式开销。
• 该算法可推广至任意稳定子维数为 k 的态，可在 poly(n, 2^t, 1/ε) 时间和样本数内学习此类态。
• 开发了一种稳定子维数的性质测试算法，仅需 O(n) 个双副本测量，且独立于 Weyl 展开大小。
• 结果表明，即使 t 的增长慢于 n，含有 O(log n) 个非 Clifford 门的态仍可被高效学习，优于标准层析方法。
• 本文提供了证据表明，基于相关学习任务中已知的分离结果，单副本测量协议中对 t 的指数依赖可能是必要的。