[论文解读] Efficient list decoding of punctured Reed-Muller codes.

Venkatesan Guruswami, Lingfei Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2015

Coding theory and cryptography被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在 $\mathbb{F}_q$ 上对 Reed-Muller 码的显式、长度高效的删失方法，该方法保持了近乎最优的距离和高效的列表可译码性。通过用代数函数域中的函数替换变量以控制极点阶数，该构造在 $q \gtrsim d^2/\epsilon^2$ 时，生成的码具有至少 $1-\epsilon$ 的相对距离、可列表译码至 $1-\sqrt{\epsilon}$ 的错误分数，且码率 $\Omega_d(\epsilon)$，其性能几乎与随机删失相当，同时在域大小效率方面有所改进。

ABSTRACT

The Reed-Muller (RM) code encoding $n$-variate degree-$d$ polynomials over $\mathbb{F}_q$ for $d < q$ has relative distance $1-d/q$ and can be list decoded from a $1-O(\sqrt{d/q})$ fraction of errors. In this work, for $d \ll q$, we give a length-efficient puncturing of such codes which (almost) retains the distance and list decodability properties of the Reed-Muller code, but has much better rate. Specificially, when $q \gtrsim d^2/\epsilon^2$, we given an explicit rate $\Omega_d(\epsilon)$ puncturing of Reed-Muller codes which have relative distance at least $(1-\epsilon)$ and efficient list decoding up to $(1-\sqrt{\epsilon})$ error fraction. This almost matches the performance of random puncturings which work with the weaker field size requirement $q \gtrsim d/\epsilon^2$. We can also improve the field size requirement to the optimal (up to constant factors) $q \gtrsim d/\epsilon$, at the expense of a worse list decoding radius of $1-\epsilon^{1/3}$ and rate $\Omega_d(\epsilon^2)$. The first of the above trade-offs is obtained by substituting for the variables functions with carefully chosen pole orders from an algebraic function field; this leads to a puncturing for which the RM code is a subcode of a certain algebraic-geometric code (which is known to be efficiently list decodable). The second trade-off is obtained by concatenating this construction with a Reed-Solomon based multiplication friendly pair, and using the list recovery property of algebraic-geometric codes.

研究动机与目标

• 设计一种长度高效的 Reed-Muller 码删失方法，以保持强列表可译码性和距离特性。
• 降低实现恒定相对距离 $1-\epsilon$ 和可列表译码至 $1-\sqrt{\epsilon}$ 错误分数所需的域大小 $q$。
• 实现域大小、码率与列表译码半径之间的权衡，其性能几乎与随机删失相当，但采用显式构造。
• 利用代数几何与乘法友好的对，构造具有高效列表译码性和高码率的码。

提出的方法

• 将 Reed-Muller 码中的变量用代数函数域中的有理函数替换，仔细控制极点阶数，以确保删失码仍是代数几何码的一个子码。
• 利用代数几何码已知的高效列表可译码性，继承删失 Reed-Muller 码的列表可译码特性。
• 在 $q \gtrsim d^2/\epsilon^2$ 条件下，当 $d \ll q$ 时，实现 $\Omega_d(\epsilon)$ 的码率和至少 $1-\epsilon$ 的相对距离。
• 为提升域大小效率，将构造与基于 Reed-Solomon 的乘法友好的对相连接，使域大小降低至 $q \gtrsim d/\epsilon$，代价是列表译码半径降低至 $1-\epsilon^{1/3}$。
• 利用代数几何码的列表恢复特性，使第二种构造实现高效的列表译码。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否构造一种显式的 Reed-Muller 码删失方法，使其在显著降低域大小的前提下，仍保持近乎最优的距离和高效的列表可译码性？
• RQ2 代数函数域如何用于设计保持 Reed-Muller 码结构的删失方法，同时提升码率与抗错能力？
• RQ3 在显式删失 Reed-Muller 码中，域大小、码率与列表译码半径之间存在何种权衡？
• RQ4 显式构造在距离与列表可译码性方面，能在多大程度上接近随机删失的性能？

主要发现

• 当 $q \gtrsim d^2/\epsilon^2$ 时，该构造生成的删失 Reed-Muller 码具有至少 $1-\epsilon$ 的相对距离，且可高效列表译码至 $1-\sqrt{\epsilon}$ 的错误分数，码率为 $\Omega_d(\epsilon)$。
• 该构造在 $d \ll q$ 条件下实现了 $\epsilon$ 的多项式码率，显著优于以往的显式删失方法。
• 域大小要求 $q \gtrsim d^2/\epsilon^2$ 几乎是最优的，且接近随机删失所需的域大小（后者要求 $q \gtrsim d/\epsilon^2$）。
• 通过与乘法友好的对相连接，域大小降低至 $q \gtrsim d/\epsilon$，在常数因子范围内达到最优，尽管列表译码半径减弱至 $1-\epsilon^{1/3}$。
• 所得码是代数几何码的子码，可通过已知算法实现高效的列表译码。