[论文解读] Efficient Noise-Blind 𝓁 1 -Regression of Nonnegative Compressible Signals.

Hendrik Bernd Petersen, Bubacarr Bah+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2020

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 18被引用 1

一句话总结

本文提出非负最小绝对偏差（NNLAD）方法，用于利用二元扩张矩阵对非负可压缩信号实现鲁棒、抗噪声的盲恢复。在 $ε$-鲁棒 null 空间性质下，建立了统一、稳定且鲁棒的恢复保证，支持高效、稀疏的压缩与恢复——特别适用于具有尖峰噪声模型的疫情群体检测。

ABSTRACT

In compressed sensing the goal is to recover a signal from as few as possible noisy, linear measurements. The general assumption is that the signal has only a few non-zero entries. Given an estimate for the noise level a common convex approach to recover the signal is basis pursuit denoising (BPDN). If the measurement matrix has the robust null space property with respect to the $\ell_2$-norm, BPDN obeys stable and robust recovery guarantees. In the case of unknown noise levels, nonnegative least squares recovers non-negative signals if the measurement matrix fulfills an additional property (sometimes called the $M^+$-criterion). However, if the measurement matrix is the biadjacency matrix of a random left regular bipartite graph it obeys with a high probability the null space property with respect to the $\ell_1$-norm with optimal parameters. Therefore, we discuss non-negative least absolute deviation (NNLAD). For these measurement matrices, we prove a uniform, stable and robust recovery guarantee. Such guarantees are important, since binary expander matrices are sparse and thus allow for fast sketching and recovery. We will further present a method to solve the NNLAD numerically and show that this is comparable to state of the art methods. Lastly, we explain how the NNLAD can be used for group testing in the recent COVID-19 crisis and why contamination of specimens may be modeled as peaky noise, which favors $\ell_1$ based data fidelity terms.

研究动机与目标

• 为解决在压缩感知中噪声水平未知时恢复非负可压缩信号的挑战，这是该领域常见的局限。
• 开发一种鲁棒、抗噪声盲的恢复方法，无需事先知晓噪声幅度，同时保持稳定性和准确性。
• 利用二元扩张矩阵（例如左正则二分图）的结构特性，实现快速、稀疏的压缩与高效恢复。
• 基于 $²$-范数，利用 $ε$-鲁棒 null 空间性质，为 NNLAD 提供统一、稳定且鲁棒的恢复理论保证。
• 通过数值方法和实际应用（如新冠疫情中的群体检测）展示 NNLAD 的实际可行性。

提出的方法

• 提出非负最小绝对偏差（NNLAD）作为基追踪去噪（BPDN）的抗噪声盲替代方法，采用 $²$-范数作为数据保真项。
• 证明二元扩张矩阵以高概率满足具有最优参数的 $ε$-鲁棒 null 空间性质。
• 采用 $M^+$-准则，确保在 NNLAD 框架下实现非负信号的恢复。
• 应用鲁棒 null 空间性质，推导出 NNLAD 的统一、稳定且鲁棒的恢复保证。
• 开发一种数值算法，高效求解 NNLAD 问题，性能与当前最先进方法相当。
• 将群体检测中的样本污染建模为尖峰噪声，支持采用 $²$-范数为基础的数据保真项（如 NNLAD）进行建模。

实验结果

研究问题

• RQ1 NNLAD 是否能在未知噪声水平的情况下，实现非负可压缩信号的稳定且鲁棒的恢复？
• RQ2 具有左正则二分图结构的二元扩张矩阵是否以高概率满足具有最优参数的 $ε$-鲁棒 null 空间性质？
• RQ3 在准确性和效率方面，NNLAD 与现有最先进恢复方法相比表现如何？
• RQ4 NNLAD 是否能有效应用于涉及尖峰噪声的群体检测场景，如混合检测中的样本污染？
• RQ5 在 $ε$-鲁棒 null 空间性质框架下，NNLAD 可建立哪些理论保证？

主要发现

• NNLAD 即使在噪声水平未知的情况下，也能实现非负可压缩信号的统一、稳定且鲁棒的恢复。
• 从随机左正则二分图中抽取的二元扩张矩阵，以高概率满足具有最优参数的 $ε$-鲁棒 null 空间性质。
• 基于 $²$-范数的鲁棒 null 空间性质，推导出 NNLAD 的理论保证，确保其稳定性和鲁棒性。
• 数值结果表明，所提出的 NNLAD 求解器在恢复精度和效率方面与最先进方法相当。
• 该方法特别适用于群体检测应用，尤其在涉及尖峰噪声（如 SARS-CoV-2 混合检测中的样本污染）的场景中表现优异。
• NNLAD 中采用 $²$-范数作为数据保真项，有利于将污染建模为稀疏、高幅值噪声，具有优势。