[论文解读] Efficient $p$-multigrid method based on an exponential time discretization for compressible steady flows

Shujie Li|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出了一种高效的 p-多重网格框架，用于使用高阶间断伽辽金方法求解可压缩定常流。它将指数时间积分与 s-阶段预处理龙格-库塔平滑器相结合，实现了与 p 无关的收敛性，并且相比完全隐式方法显著降低了内存使用量，因此特别适用于三维高阶模拟。

ABSTRACT

An efficient multigrid framework is developed for the time marching of steady-state compressible flows with a spatially high-order ($p$-order polynomial) modal discontinuous Galerkin method. The core algorithm that based on a global coupling, exponential time integration scheme provides strong damping effects to accelerate the convergence towards the steady state, while high-frequency, high-order spatial error modes are smoothed out with a $s$-stage preconditioned Runge-Kutta method. Numerical studies show that the exponential time integration substantially improves the damping and propagative efficiency of Runge-Kutta time-stepping for use with the $p$-multigrid method, yielding rapid and $p$-independent convergences to steady flows in both two and three dimensions.

研究动机与目标

• 开发一种适用于高阶间断伽辽金（DG）方法在定常可压缩流模拟中的鲁棒且高效的 p-多重网格框架。
• 克服传统时间推进方法在高阶空间离散化下收敛效率低和内存消耗高的局限性。
• 将指数时间积分与预处理龙格-库塔平滑相结合，实现快速且与 p 无关的收敛。
• 与完全隐式方法相比，显著降低内存占用，尤其适用于高多项式阶次的三维问题。
• 在不同 p 阶次下，通过二维和三维基准问题展示该方法的效率和可扩展性。

提出的方法

• 采用一阶指数时间积分（EXP1）以实现强数值阻尼，并快速收敛至定常状态。
• 使用 s-阶段预处理龙格-库塔（PRK）方法，有效平滑高频、高阶空间误差模式。
• 在 V-循环 p-多重网格框架中结合指数时间积分与 PRK，加速不同多项式阶次下的收敛。
• 利用 Krylov 子空间方法高效计算指数时间积分方案中的矩阵指数。
• 采用全局耦合指数格式，对刚性雅可比部分进行解析处理，对非线性余项进行数值近似。
• 基于局部特征值估计设计时间步长策略，以保持稳定性和效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 指数时间积分是否能显著提升高阶 DG 离散化下 p-多重网格方法的收敛速率？
• RQ2 所提出的 eMG 框架是否在二维和三维可压缩流问题中均实现与 p 无关的收敛性？
• RQ3 在高多项式阶次下，eMG 方法的内存消耗与完全隐式方法相比如何？
• RQ4 在 CPU 时间和迭代次数方面，eMG 方法相对于 ILU-GMRES 基的隐式求解器的计算效率如何？
• RQ5 eMG 框架是否能在显著降低内存使用的同时，保持三维高阶模拟中的高精度？

主要发现

• eMG 方法在二维和三维无粘流中，对多项式阶次 p = 1 至 p = 3 均实现了与 p 无关的收敛速率。
• 对于包含 10^5 个单元、p = 3 的三维问题，eMG 方法仅需 0.03 GB 内存，而完全隐式方法需 45 GB。
• 尽管迭代次数更多，eMG 方法在 p = 3 情况下仍比 ILU-GMRES 隐式求解器具有更快的 CPU 时间。
• 指数时间积分提供了强阻尼，加速了向定常状态的收敛，且无需矩阵分解。
• 该方法在三维中仍保持高效率和低内存占用，使其适用于大规模高阶模拟。
• eMG 框架在计算成本和内存占用方面优于完全隐式方法，同时实现了相当或更优的收敛性能。