[论文解读] Efficient polynomial-time approximation scheme for the genus of dense graphs

Yifan Jing, Bojan Mohar|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文提出了一种高效多项式时间近似方案（EPTAS）和一种高效多项式时间随机近似方案（EPRAS），用于近似稠密图的亏格——即边密度至少为 α|V|² 的图，其中 α > 0 为固定常数。该算法利用拟随机图分解、通过线性规划实现边不相交的三角形与四边形打包，以及在超图上的随机贪心匹配，以 O(f(ε)n²) 时间实现对最小亏格的 (1+ε)-近似，并在 EPRAS 变体中构造出嵌入。

ABSTRACT

The main results of this paper provide an Efficient Polynomial-Time Approximation Scheme (EPTAS) for approximating the genus (and non-orientable genus) of dense graphs. By dense we mean that $|E(G)|\ge α|V(G)|^2$ for some fixed $α>0$. While a constant factor approximation is trivial for this class of graphs, approximations with factor arbitrarily close to 1 need a sophisticated algorithm and complicated mathematical justification. More precisely, we provide an algorithm that for a given (dense) graph $G$ of order $n$ and given $\varepsilon>0$, returns an integer $g$ such that $G$ has an embedding into a surface of genus $g$, and this is $\varepsilon$-close to a minimum genus embedding in the sense that the minimum genus $\mathsf{g}(G)$ of $G$ satisfies: $\mathsf{g}(G)\le g\le (1+\varepsilon)\mathsf{g}(G)$. The running time of the algorithm is $O(f(\varepsilon)\,n^2)$, where $f(\cdot)$ is an explicit function. Next, we extend this algorithm to also output an embedding (rotation system) whose genus is $g$. This second algorithm is an Efficient Polynomial-time Randomized Approximation Scheme (EPRAS) and runs in time $O(f_1(\varepsilon)\,n^2)$.

研究动机与目标

• 为满足 |E(G)| ≥ α|V(G)|² 的稠密图亏格开发一种在 ε 上具有高效依赖关系的多项式时间近似方案。
• 实现对最小亏格的 (1+ε) 近似，优于平凡的常数因子近似。
• 设计一种不仅近似亏格，还能输出图的亏格最小旋转系统（即嵌入）的算法。
• 基于拟随机图理论和正则性引理，为拓扑图论应用提供一个数学上严谨的框架。

提出的方法

• 应用 Szemerédi 正则性引理的算法版本，将输入图划分为有界数量的部分，使得各部分之间的边分布具有拟随机性。
• 将图分解为三部图和二部图子图（T_ijk 和 B_ij），控制其边密度，以高概率保证拟随机性。
• 通过随机划分将这些子图的边集分别划分为 t₁ 和 t₂ 个部分，生成多个拟随机有向图及其对应的 3-和 4-均匀超图。
• 在 3-均匀和 4-均匀超图上使用随机贪心算法，寻找对应于边不相交三角形与四边形的 τ-近似完美匹配。
• 从匹配的环中构造旋转系统 Π，确保弧不相交，并通过剪枝步骤解决花形结构，从而获得有效嵌入。
• 利用线性规划计算 ν(G)，即 ν(G) 的 ε-近似值，其规模受 f₂(ε) 限制，从而通过推论 1.7 实现亏格近似。

Figure 1. A $3$ -blossom and a $4$ -blossom of length $6$ . The cycle $C_{1}$ is shown by bold edges.

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在 ε 上具有高效依赖关系的前提下，以多项式时间计算稠密图亏格的 (1+ε)-近似？
• RQ2 如何利用拟随机图分解在有界亏格的曲面上构造近似最优嵌入？
• RQ3 边不相交的三角形与四边形打包在近似稠密图亏格中起什么作用？
• RQ4 能否设计一种随机算法，以近二次时间复杂度同时输出亏格近似值与有效旋转系统（即嵌入）？
• RQ5 拟随机性、超图匹配与亏格等拓扑图不变量之间存在何种理论联系？

主要发现

• 本文实现了运行时间为 O(f(ε)n²) 的 EPTAS，返回的亏格估计值 g 满足 g ≤ (1+ε)g(G)，其中 g(G) 为图的真实亏格。
• 开发了 EPRAS 变体，不仅以 (1+ε) 因子近似亏格，还输出实现该亏格估计 g 的旋转系统。
• 该算法依赖于大小为 f₂(ε) 的线性规划，以近似最大边不相交三角形数 ν(G)，这对亏格估计至关重要。
• 以高概率，至少 (1−r(ε)−τ) 的生成超图（对应三角形与四边形）具有 τ-近似完美匹配，从而支持稳健的环打包。
• 该构造确保了在有向图及其逆图中所选环的弧不相交，经花形结构处理后可形成有效旋转系统。
• 最终的亏格估计满足 (1+ε)g(G) ≥ g(G,Π)，证明了对嵌入亏格的 (1+ε)-近似保证。