[论文解读] Efficient Quantum Algorithms for Simulating Lindblad Evolution

Richard Cleve, Chunhao Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 31被引用 35

一句话总结

本文提出了一种高效的量子算法，用于模拟开放量子系统中的Lindblad演化，采用专为量子通道设计的线性酉组合（LCU）方法的新型变体。该算法在Lindbladian由$ \mathrm{poly}(n) $个泡利算符组成时，实现了$ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n)) $的门成本，优于将问题约化为哈密顿量模拟所导致的$ O(t^2/\epsilon) $开销。

ABSTRACT

We consider the natural generalization of the Schrödinger equation to Markovian open system dynamics: the so-called the Lindblad equation. We give a quantum algorithm for simulating the evolution of an $n$-qubit system for time $t$ within precision $ε$. If the Lindbladian consists of $\mathrm{poly}(n)$ operators that can each be expressed as a linear combination of $\mathrm{poly}(n)$ tensor products of Pauli operators then the gate cost of our algorithm is $O(t\, \mathrm{polylog}(t/ε)\mathrm{poly}(n))$. We also obtain similar bounds for the cases where the Lindbladian consists of local operators, and where the Lindbladian consists of sparse operators. This is remarkable in light of evidence that we provide indicating that the above efficiency is impossible to attain by first expressing Lindblad evolution as Schrödinger evolution on a larger system and tracing out the ancillary system: the cost of such a extit{reduction} incurs an efficiency overhead of $O(t^2/ε)$ even before the Hamiltonian evolution simulation begins. Instead, the approach of our algorithm is to use a novel variation of the "linear combinations of unitaries" construction that pertains to channels.

研究动机与目标

• 开发一种能够高效模拟由Lindblad主方程描述的马尔可夫开放系统动力学的量子算法。
• 克服将Lindblad演化约化为扩展系统上哈密顿量演化所带来的低效性，该方法会产生$ O(t^2/\epsilon) $的门成本开销。
• 实现门复杂度与$ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n)) $成比例的模拟，适用于由$ \mathrm{poly}(n) $个泡利算符构成的Lindbladian。
• 将效率扩展至局域或稀疏Lindbladian算符的情形，同时保持对精度的对数多项式依赖。

提出的方法

• 提出一种专为量子通道设计的线性酉组合（LCU）框架的新变体，而非仅适用于单位算符。
• 使用多路复用的酉操作构造，将Lindbladian演化实现为由Lindblad算符和哈密顿量导出的酉算符的受控和。
• 通过纯化和指示量子比特寄存器编码Lindbladian生成算符，以实现对LCU组件的受控应用。
• 采用截断与近似方案，将每个Lindblad算符和哈密顿量表示为受控误差的酉算符线性组合。
• 利用浓度不等式与误差分析，确保模拟演化与真实演化之间的钻石范数距离在$ \epsilon $以内。
• 将总演化时间划分为$ O(\tau) $个时间段，其中$ \tau = t\|\mathcal{L}\|_{\text{pauli}} $，并在每个时间段内递归应用电路，同时降低精度要求。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够实现门成本与$ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)) $成比例的Lindblad演化模拟，从而避免标准哈密顿量模拟约化带来的$ O(t^2/\epsilon) $开销？
• RQ2 是否可能通过直接基于通道的LCU构造来模拟Lindblad演化，而非通过辅助量子比特的哈密顿量嵌入方法？
• RQ3 当Lindbladian由局域或稀疏算符构成时，其模拟的门复杂度是多少？
• RQ4 对Lindbladian的LCU近似中的误差如何影响整体模拟保真度？
• RQ5 当Lindbladian由$ \mathrm{poly}(n) $个泡利项构成且具有$ \mathrm{poly}(n) $-稀疏结构时，该算法是否仍能保持高效？

主要发现

• 对于由$ \mathrm{poly}(n) $个算符构成的Lindbladian，且每个算符均为$ \mathrm{poly}(n) $个泡利项的线性组合时，该算法实现了$ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n)) $的门成本。
• 对于具有$ d $-稀疏哈密顿量和Lindblad算符的稀疏Lindbladian，门复杂度为$ O(\tau\,\mathrm{polylog}(mq\tau/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n,d)) $，其中$ \tau = t\|\mathcal{L}\|_{\text{ops}} $。
• 查询复杂度为$ O\left(\tau\,\frac{\log(\tau/\epsilon)}{\log\log(\tau/\epsilon)}\,\mathrm{poly}(d)\right) $，反映出对量子 oracle 的高效使用。
• 该方法避免了将Lindblad演化约化为扩展系统上哈密顿量演化所固有的$ O(t^2/\epsilon) $门成本开销，如附录A所证明。
• 通过选择足够的截断与近似参数，模拟误差在钻石范数下被控制在$ \epsilon $以内，且浓度不等式确保了保真度。
• 即使Lindbladian由局域算符构成，该算法仍保持高效，其复杂度为$ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n)) $。