[论文解读] Efficient Representations of Signals in Nonlinear Signal Processing with Applications to Inverse Problems

Eugene Brevdo|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2021

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 85被引用 3

一句话总结

本论文在非欧几里得域——黎曼流形、图和球面上，利用拉普拉斯算子构建了高效的信号表示方法，从而为医学成像、地球物理学和信号分析中的反问题提供了稳健的解决方案。通过利用拉普拉斯算子的本征函数（如球面谐函数、图谱理论），该研究实现了精确的多尺度信号分解与反演，在时频分析和数据重建方面实现了理论与实践的双重进展。

ABSTRACT

The focus of this thesis is the construction and analysis of efficient representations in nonlinear signal processing, and the applications of these structures to inverse problems in a variety of fields. The work is composed of three major sections, each associated with a different form of data: - Regression and Distance Estimation on Graphs and Riemannian Manifolds. - Instantaneous Time-Frequency Analysis via Synchrosqueezing. - Multiscale Dictionaries of Slepian Functions on the Sphere.

研究动机与目标

• 在黎曼流形、图和球面等非欧几里得域上，发展高效且多尺度的信号表示方法。
• 将这些表示方法应用于医学成像、地球物理学和时间序列分析中的反问题。
• 通过将拉普拉斯算子作为核心分析工具，统一各类反问题的处理框架。
• 利用谱方法，实现从噪声或不完整观测中稳健且精确的信号重建。
• 通过拉普拉斯算子的本征函数，将经典傅里叶分析扩展至曲面和高维数据结构。

提出的方法

• 将拉普拉斯算子作为核心工具，以提取局部几何结构并合成全局信号表示。
• 采用拉普拉斯算子的本征函数（如S²上的球面谐函数、邻近图上的图拉普拉斯算子）作为信号分解的正交基。
• 应用霍奇定理，证明在紧致黎曼流形上，拉普拉斯算子存在正交本征基。
• 通过在本征函数上进行积分，实现类似傅里叶的分析与合成，从而在谱域表示信号。
• 应用同步挤压变换，以增强非平稳信号在时频域的表示。
• 在球面上构建Slepian函数的多尺度字典，实现在空间域与谱域中的最优集中性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在黎曼流形和图等非欧几里得域上构建高效且多尺度的信号表示？
• RQ2 拉普拉斯算子在统一不同几何与拓扑结构下的信号处理中起到何种作用？
• RQ3 基于拉普拉斯算子本征函数的谱表示如何改善成像与地球物理学中反问题的求解？
• RQ4 能否通过同步挤压变换增强流形上非平稳信号的时频表示？
• RQ5 如何利用球面上的Slepian函数构建最优且高度集中的信号字典以解决反问题？

主要发现

• 拉普拉斯算子为黎曼流形、图和球面提供了统一的信号表示框架，使从局部数据实现全局分析成为可能。
• 拉普拉斯算子的本征函数——如S²上的球面谐函数——构成L²函数的正交基，从而可通过谱分解实现精确的信号重建。
• 在紧致黎曼流形上，拉普拉斯算子具有离散且可数的谱，其本征值有限重数，本征函数构成完备的正交基。
• 利用球面谐函数可在球面上实现精确且高度集中的信号表示，适用于地球物理与天体物理数据的分析。
• 同步挤压变换通过将能量重新分配至真实的振荡模态，提升了时频表示的分辨率，超越了短时傅里叶变换的极限。
• 球面上Slepian函数的多尺度字典在空间域与谱域中均实现最优集中性，从而在反问题中实现高效且稳健的信号恢复。