[论文解读] Efficient Simulation of Random Quantum States and Operators

Christoph Dankert|ArXiv.org|Dec 23, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用 42

一句话总结

本文提出了一种利用互为 unbiased 基（MUBs）和 Clifford 群高效生成随机量子态与酉操作的量子电路，实现了在噪声量子信道中对平均保真度的可扩展估计。证明了 MUB 态构成一个 2-设计，并表明仅需 Clifford 群的一个最小子集即可将任意信道转为退相干信道，同时给出了在 N 量子比特上高效实现的显式构造。

ABSTRACT

We investigate the generation of quantum states and unitary operations that are ``random'' in certain respects. We show how to use such states to estimate the average fidelity, an important measure in the study of implementations of quantum algorithms. We re-discover the result that the states of a maximal set of mutually-unbiased bases serve this purpose. An efficient circuit is presented that generates an arbitrary state out of such a set. Later on, we consider unitary operations that can be used to turn any quantum channel into a depolarizing channel. It was known before that the Clifford group serves this and a related purpose, and we show that these are actually the same. We also show that a small subset of the Clifford group is already sufficient to accomplish this. We conclude with an efficient construction of the elements of that subset. This thesis is based on joint work with Richard Cleve, Joseph Emerson, and Etera Livine.

研究动机与目标

• 开发高效的量子电路以生成随机量子态，从而实现对噪声量子信道中平均保真度的精确估计。
• 证明互为 unbiased 基（MUBs）构成一个酉 2-设计，从而实现无需完整过程层析成像即可高效估计保真度。
• 证明仅需 Clifford 群的一个最小子集即可将任意量子信道转为退相干信道，简化噪声表征。
• 提供在 N 量子比特上生成 MUB 态及实现所需 Clifford 群转置操作的显式、高效量子电路构造。

提出的方法

• 利用 MUB 态作为 2-设计，通过态层析成像估计平均保真度，替代昂贵的完整过程层析成像。
• 构建高效量子电路，利用伽罗瓦域上的 Hadamard、T 门和受控相位操作准备任意 MUB 态。
• 通过使用随机 CNOT 和 T 门操作的泡利转置过程，对各量子比特上的泡利算符进行均匀随机化。
• 基于伽罗瓦环算术的递归电路结构，以 O(N²) 深度高效生成 MUB 态。
• 采用两步转置过程：首先对除一个量子比特外的所有量子比特随机化泡利算符，然后使用 CNOT 和 T 门对剩余量子比特实施受控随机化。
• 通过证明泡利算符分布的均匀性以及在转置下的不变性，证明所得酉操作分布构成一个 2-设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用互为 unbiased 基在无需完整过程层析成像的情况下高效估计量子信道的平均保真度？
• RQ2 是否存在 Clifford 群的一个最小子集，可将任意量子信道转为退相干信道？
• RQ3 能否构建高效的量子电路以准备来自最大互为 unbiased 基集合的任意态？
• RQ4 如何通过有限的量子态与操作集合高效近似酉操作的哈尓测度平均？
• RQ5 使 Clifford 群能够作为酉 2-设计的结构是什么？如何以最少资源实现这一功能？

主要发现

• 互为 unbiased 基（MUBs）构成一个酉 2-设计，使得通过随机态制备与测量可高效估计平均保真度。
• Clifford 群构成一个酉 2-设计，且其一个最小子集已足够将任意信道转为退相干信道。
• 一种深度为 O(N²) 的高效量子电路可仅使用 Hadamard、T 门和受控相位操作在 N 量子比特上准备任意 MUB 态。
• 该构造利用伽罗瓦环算术，通过递归电路将计算基态映射为 MUB 态，实现方式为相位旋转。
• 使用随机 CNOT 和 T 门的转置过程可在各量子比特上实现泡利算符的均匀分布，仅排除四种泡利算符（第一量子比特为恒等算符，其余为恒等或 Z 算符）。
• 本文提供了完整的、显式的 Clifford 群转置电路构造，以高概率实现所需均匀性，且资源开销最小。