[论文解读] Efficient Tomography of Non-Interacting Fermion States

Scott Aaronson, Sabee Grewal|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2021

Medical Imaging Techniques and Applications被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种高效算法，通过 O(m³n² log(1/δ)/ϵ⁴) 份副本和 O(m⁴n² log(1/δ)/ϵ⁴) 的时间，以高概率实现 trace 距离下 ϵ-接近的重构。该方法通过 O(m) 种测量基估计单模和双模关联，重构核矩阵 K，并计算一个列正交矩阵 Â 以描述该态。

ABSTRACT

We give an efficient algorithm that learns a non-interacting-fermion state, given copies of the state. For a system of n non-interacting fermions and m modes, we show that O(m³ n² log(1/δ) / ε⁴) copies of the input state and O(m⁴ n² log(1/δ)/ ε⁴) time are sufficient to learn the state to trace distance at most ε with probability at least 1 - δ. Our algorithm empirically estimates one-mode correlations in O(m) different measurement bases and uses them to reconstruct a succinct description of the entire state efficiently.

研究动机与目标

• 开发一种从多个副本中高效学习非相互作用费米子态的算法。
• 降低费米子系统中量子态层析成像的资源成本（副本数和时间）。
• 利用自由费米子态的结构特征——由 m×n 的列正交矩阵 A 描述——实现简洁高效的重构。
• 以至少 1−δ 的高概率实现 trace 距离下 ϵ-接近的近似。

提出的方法

• 通过在标准基上测量并平均占据频率，经验估计单模关联。
• 使用分束器估计核矩阵 K 的非对角线元素：应用 1/√2(1 1; 1 -1) 和 1/√2(1 i; 1 -i) 分别估计 Kij 的实部和虚部。
• 从 O(m) 种测量基中重构核矩阵 ˆK，每种基需 O(log(1/δ)/γ²) 份副本。
• 对 ˆK 进行特征分解 QΛQ†，并将 ˆA 取为 Q 的前 n 列，以构成重构态 |ˆΨ⟩。
• 利用费米子态由 K 的主子式决定的性质，且对配置 S 有 |⟨S|Ψ⟩|² = det(KS)。
• 利用核矩阵 K = AA† 的结构，其中 A 为列正交，以确保重构态的物理一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非相互作用费米子态能否在副本数和时间复杂度上实现高效学习？
• RQ2 尽管希尔伯特空间维度呈指数增长，是否仍可仅使用 O(m) 种测量基实现态的重构？
• RQ3 为在高概率下实现 trace 距离的 ϵ-精度，所需最少副本数是多少？
• RQ4 该算法能否推广至一般量子态层析成像或其他量子态类别？
• RQ5 此类学习任务是否存在测量或副本数的理论极限？

主要发现

• 该算法使用 O(m³n² log(1/δ)/ϵ⁴) 份副本和 O(m⁴n² log(1/δ)/ϵ⁴) 的经典时间，以至少 1−δ 的概率实现 trace 距离下 ϵ-接近的重构。
• 该方法仅需 O(m) 种测量基，每种基通过在成对模式上施加分束器操作，以估计核矩阵 K 的非对角线元素。
• 单模关联通过在标准基上对副本的占据频率进行平均来估计。
• 非对角线元素 Kij 通过受控分束器操作估计实部 Re(Kij) 和虚部 Im(Kij)，随后在标准基上测量。
• 重构态 |ˆΨ⟩ 由 ˆA 生成，其中 ˆA 为 ˆK 的特征向量矩阵 Q 的前 n 列。
• 该算法表明，尽管希尔伯特空间大小呈指数增长，但由于自由费米子态具有低秩和行列式结构，仍可高效学习完整态。