[论文解读] Efficient unitary designs and pseudorandom unitaries from permutations

Chi-Fang Chen, Adam Bouland+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2024

graph theory and CDMA systems被引用 4

一句话总结

本文提出了一种高效的量子算法，通过将 $S(N)$ 上的随机置换提升为 $U(N)$ 上的酉算符，仅使用 $\tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))$ 个量子门，即可构造酉 $k$-设计和伪随机酉矩阵（PRUs），其中 $N=2^n$。关键洞见在于将大-$N$ 随机矩阵理论与多项式方法联系起来，通过从大-$N$ 极限进行插值，实现对有限-$N$ 的分析，从而在信息论 $k$-设计和计算安全 PRUs 上均达到最优门复杂度。

ABSTRACT

In this work we give an efficient construction of unitary $k$-designs using $ ilde{O}(k\cdot poly(n))$ quantum gates, as well as an efficient construction of a parallel-secure pseudorandom unitary (PRU). Both results are obtained by giving an efficient quantum algorithm that lifts random permutations over $S(N)$ to random unitaries over $U(N)$ for $N=2^n$. In particular, we show that products of exponentiated sums of $S(N)$ permutations with random phases approximately match the first $2^{Ω(n)}$ moments of the Haar measure. By substituting either $ ilde{O}(k)$-wise independent permutations, or quantum-secure pseudorandom permutations (PRPs) in place of the random permutations, we obtain the above results. The heart of our proof is a conceptual connection between the large dimension (large-$N$) expansion in random matrix theory and the polynomial method, which allows us to prove query lower bounds at finite-$N$ by interpolating from the much simpler large-$N$ limit. The key technical step is to exhibit an orthonormal basis for irreducible representations of the partition algebra that has a low-degree large-$N$ expansion. This allows us to show that the distinguishing probability is a low-degree rational polynomial of the dimension $N$.

研究动机与目标

• 弥合 $n$ qubit 上酉 $k$-设计的 $\Omega(nk)$ 量子门下限与现有构造之间的差距。
• 仅使用 $\tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))$ 门，提供一种并行安全伪随机酉矩阵（PRUs）的高效构造。
• 在大-$N$ 极限下的随机矩阵理论与有限-$N$ 分析的多项式方法之间建立概念性桥梁。
• 通过将随机置换通过带随机相位的指数和提升为酉算符，实现近似 $k$-设计与 PRUs 的高效量子算法生成。

提出的方法

• 通过带随机相位的置换算符的指数和，将 $S(N)$ 上的随机置换提升为 $U(N)$ 中的酉算符。
• 利用分划代数的大-$N$ 展开，识别出在 $N$ 中具有低次多项式结构的正交基。
• 应用多项式方法，证明构造的集合与哈尓测度之间的区分概率是 $N$ 的低次有理多项式。
• 利用渐近自由性与矩匹配技术，从大-$N$ 极限插值有限-$N$ 边界。
• 用 $k$-次独立置换或量子安全伪随机置换（PRPs）替代真实随机置换，以实现高效构造。
• 使用极化论证与迹范数界控制自适应可区分性，表明非自适应 $1$-范数安全性蕴含自适应安全性，且开销为 $4^k N^{4k}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用 $\tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))$ 个量子门构造酉 $k$-设计，使其在对数因子内接近理论下限？
• RQ2 能否在仅使用 $\tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))$ 门的前提下，高效构造一种并行安全的伪随机酉矩阵（PRUs）？
• RQ3 大-$N$ 随机矩阵理论与有限-$N$ 伪随机性构造之间是否存在概念性与技术性桥梁？
• RQ4 构造集合与哈尓测度之间的区分概率能否被表示为 $N=2^n$ 的低次有理多项式？
• RQ5 在提升构造中使用 $k$-次独立置换或量子安全 PRPs 是否能保持所需的伪随机性特性？

主要发现

• 本文实现了使用 $\tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))$ 个量子门的酉 $k$-设计的高效构造，几乎达到 $\Omega(nk)$ 的下限。
• 首次提供了并行安全伪随机酉矩阵（PRU）的高效构造，其门复杂度为 $\tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))$。
• 证明了构造集合与哈尓测度之间的区分概率是 $N=2^n$ 的低次有理多项式，从而可通过从大-$N$ 极限插值实现有限-$N$ 分析。
• 该构造依赖于通过带随机相位的指数和将随机置换提升为酉算符，其矩与哈尓测度在 $2^{\Omega(n)}$ 阶矩内匹配。
• 通过替换为 $k$-次独立置换或量子安全 PRPs，作者在实现信息论 $k$-设计与计算安全 PRUs 的同时，均达到了最优门复杂度。
• 该方法建立了一个分析量子系统中伪随机性的新框架，将多项式方法与大-$N$ 极限下的随机矩阵理论联系起来。