[论文解读] Efficient unitary paths and quantum computational supremacy: A proof of average-case hardness of Random Circuit Sampling

Ramis Movassagh|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文提出了一种高效、多项式时间的单位矩阵插值方法，通过改进的QR分解实现，能够利用Berlekamp-Welch算法实现精确的有理函数插值。证明了随机电路采样（RCS）在平均情况下的#P-难问题，为量子计算优越性提供了新的、简化的平均情况困难性证明。

ABSTRACT

One-parameter interpolations between any two unitary matrices (e.g., quantum gates) $U_1$ and $U_2$ along efficient paths contained in the unitary group are constructed. Motivated by applications, we propose the continuous unitary path $U(θ)$ obtained from the QR-factorization \[ U(θ)R(θ)=(1-θ)A+θB, \] where $U_1 R_1=A$ and $U_2 R_2=B$ are the QR-factorizations of $A$ and $B$, and $U(θ)$ is a unitary for all $θ$ with $U(0)=U_1$ and $U(1)=U_2$. The QR-algorithm is modified to, instead of $U(θ)$, output a matrix whose columns are proportional to the corresponding columns of $U(θ)$ and whose entries are polynomial or rational functions of $θ$. By an extension of the Berlekamp-Welch algorithm we show that rational functions can be efficiently and exactly interpolated with respect to $θ$. We then construct probability distributions over unitaries that are arbitrarily close to the Haar measure. Demonstration of computational advantages of NISQ over classical computers is an imperative near-term goal, especially with the exuberant experimental frontier in academia and industry (e.g., IBM and Google). A candidate for quantum computational supremacy is Random Circuit Sampling (RCS), which is the task of sampling from the output distribution of a random circuit. The aforementioned mathematical results provide a new way of scrambling quantum circuits and are applied to prove that exact RCS is $\#P$-Hard on average, which is a simpler alternative to Bouland et al's. (Dis)Proving the quantum supremacy conjecture requires "approximate" average case hardness; this remains an open problem for all quantum supremacy proposals.

研究动机与目标

• 开发一种在任意两个单位矩阵之间建立高效、连续路径的方法，保持单位性，并实现多项式/有理函数参数化。
• 构建在总变差距离下与哈尓测度任意接近的单位矩阵概率分布。
• 将这些数学工具应用于证明随机电路采样（RCS）的平均情况#P-难问题，这是实现量子计算优越性的关键要求。
• 提供一种与先前工作相比更简化、替代性的平均情况困难性证明，避免依赖复杂的鲁棒性论证。
• 确立RCS的精确平均情况困难性是量子优越性猜想成立的必要条件。

提出的方法

• 提出一种新颖的单位矩阵插值方案，基于线性插值的QR分解：$ U(\theta)R(\theta) = (1-\theta)A + \theta B $，其中 $ A = U_1 R_1 $，$ B = U_2 R_2 $，确保对所有 $ \theta \in [0,1] $ 都有 $ U(\theta) \in \mathbb{U}(N) $。
• 对QR算法进行修改，使其输出的矩阵列与 $ U(\theta) $ 的列成比例，且其元素为 $ \theta $ 的有理函数。
• 应用Berlekamp-Welch算法，从多项式数量的样本中精确插值这些有理函数，即使在存在噪声的情况下也能实现。
• 证明所得到的单位矩阵路径的元素是有低次有理函数，从而可从采样点高效重构。
• 利用插值路径构造量子线路的概率分布，其局部门在总变差距离下接近哈尓测度。
• 将RCS的平均情况困难性归约为在特定插值点计算输出概率的困难性，利用精确插值和最坏情况问题的#P-难性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以为任意两个单位矩阵构造一条连续的单位矩阵路径，使得矩阵元素为插值参数的高效可表示函数？
• RQ2 从少量样本中，是否可以精确且高效地插值出此类路径产生的有理函数？
• RQ3 这些插值技术是否可用于证明量子复杂性理论中随机电路采样（RCS）的平均情况困难性？
• RQ4 RCS的精确平均情况困难性是否为量子优越性猜想成立的必要条件？
• RQ5 是否可以构造出在总变差距离下接近哈尓测度的量子线路分布，同时保留复杂性理论证明所需的结构？

主要发现

• 改进的QR算法生成的单位矩阵 $ U(\theta) $ 的元素为 $ \theta $ 的有理函数，其次数有界于 $ O(n) $，从而可从 $ O(n) $ 个样本中高效重构。
• 通过Berlekamp-Welch实现的有理函数插值是精确且高效的，仅需 $ O(mD_4 \text{poly}(n)) $ 个评估点即可重构函数 $ p_0(\theta) $，其中 $ D_4 $ 为有理函数的次数。
• 本文证明了随机电路采样在平均情况下是#P-难的，提供了新的、简化的证明，避免了先前工作中复杂的鲁棒性分析。
• 本文确立了RCS的精确平均情况困难性是量子优越性猜想成立的必要条件，因为任何对 $ \mathcal{H}_{\mathcal{A},\theta} $-分布线路的高效算法都将意味着对哈尓分布线路的高效算法。
• 所构造的分布 $ \mathcal{H}_{\mathcal{A},\theta} $ 被证明在总变差距离下与哈尓测度相差 $ O(\theta) $，从而可实现困难性结果的转移。
• 结果表明，困难性结果的鲁棒性可能呈指数级小，依据Patrui引理的次数界，尽管这一点留待未来工作研究。