[论文解读] Efficient Universal Quantum Compilation: An Inverse-free Solovay-Kitaev Algorithm

Adam Bouland, Tudor Giurgică-Tiron|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 8

一句话总结

本文提出了首个无需逆运算的 SU(d) 和 SL(d,ℂ) 量子编译的逆自由 Solovay-Kitaev 算法，实现了无需依赖逆闭门集的对数多项式门序列近似。通过利用广义泡利群近似中的自校正误差结构，该算法构建了二次逆运算，实现了基于群交换子的误差抑制，对任意通用门集实现了 O(polylog(ε⁻¹)) 的序列长度。

ABSTRACT

The Solovay-Kitaev algorithm is a fundamental result in quantum computation. It gives an algorithm for efficiently compiling arbitrary unitaries using universal gate sets: any unitary can be approximated by short gates sequences, whose length scales merely poly-logarithmically with accuracy. As a consequence, the choice of gate set is typically unimportant in quantum computing. However, the Solovay-Kitaev algorithm requires the gate set to be inverse-closed. It has been a longstanding open question if efficient algorithmic compilation is possible without this condition. In this work, we provide the first inverse-free Solovay-Kitaev algorithm, which makes no assumption on the structure within a gate set beyond universality, answering this problem in the affirmative, and providing an efficient compilation algorithm in the absence of inverses for both $ ext{SU}(d)$ and $ ext{SL}(d, \mathbb{C})$. The algorithm works by showing that approximate gate implementations of the generalized Pauli group can self-correct their errors.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：在不依赖逆闭门集的前提下，是否可能实现高效的量子编译？
• 开发一种适用于任意通用门集的通用量子编译算法，无论其内部代数结构如何，仅需满足 universality 条件。
• 将 Solovay-Kitaev 框架扩展至 SU(d) 和 SL(d,ℂ) 等群，而无需依赖门序列的精确逆运算。
• 提供一种构造性、算法性的解决方案，以解决先前非构造性存在性证明留下的空白。

提出的方法

• 构建一个‘逆运算生成器’，仅使用来自通用门集的门序列，为任意 ε-近似酉算符生成 ε² 精度的逆运算。
• 利用广义泡利群算符的自校正序列，通过群轮换（group twirls）抑制逆运算近似中的误差。
• 在群交换子构造中，用逆运算生成器替代精确逆运算，同时保持每轮递归步骤中误差减少至 O(ε³/²)。
• 利用特殊酉群的性质（行列式为 1）确保误差抑制方向与广义泡利群一致，从而实现二次误差校正。
• 递归应用逆运算生成器与基于交换子的精炼机制，实现误差的双重指数级减少，同时门序列长度仅呈单指数增长。
• 通过注意到行列式为 1 的条件与群轮换性质，将该框架扩展至 SL(d,ℂ)，表明相同的误差抑制与逆运算构造机制依然适用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不强制门集为逆闭的前提下，构建高效的 Solovay-Kitaev 算法？
• RQ2 在缺乏精确逆运算的前提下，是否可能实现近似误差 ε 的对数多项式编译开销？
• RQ3 广义泡利群近似中的自校正误差结构是否能支持 SU(d) 和 SL(d,ℂ) 的逆自由编译？
• RQ4 在缺乏精确逆运算的情况下，逆运算生成器的构造是否仍能维持群交换子所需的误差抑制能力？
• RQ5 Solovay-Kitaev 框架在何种程度上可推广至非逆闭、但通用的紧致李群中的门集？

主要发现

• 该算法实现的序列长度满足 O(log^γ_d(ε⁻¹)) 的缩放关系，其中指数 γ_d = log(8d² + 1)/log(3/2)，即 Θ(log d)，适用于任意生成 SU(d) 的通用门集。
• 对于量子比特（d=2），该指数约为 8.62，虽高于标准 S-K 算法的 ~3.97，但仍保持对数多项式特性。
• 该算法的运行时间复杂度为 O(log^3.97(ε⁻¹))，尽管未使用精确逆运算，其渐近效率仍与标准 S-K 算法一致。
• 逆运算生成器仅使用 ε-近似组件，即可构造出 ε² 精度的逆运算，从而在无需精确逆运算的前提下实现群交换子中的误差抑制。
• 该框架自然可扩展至 SL(d,ℂ)，通过基于行列式的误差抑制机制，将先前依赖逆闭性的 S-K 算法推广至逆自由情形。
• 该方法保持了 Solovay-Kitaev 算法的关键递归结构，通过自校正序列将误差从 ε 降低至每轮递归步骤的 O(ε³/²)。