[论文解读] Efficiently computing runs on a trie

Ryo Sugahara, Yuto Nakashima+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Algorithms and Data Compression被引用 4

一句话总结

本文引入了字典树上的运行（runs on tries）概念——即从根到节点路径上的最大周期子串，并提出了一种时间复杂度为 O(n log log n)、空间复杂度为 O(n) 的算法，用于在具有 n 条边的字典树中计算所有此类运行。研究证明，运行的最大数量被严格限制在 n 以内，并给出了紧致的渐近下界 0.993238n，表明字典树中运行的密度接近线性。

ABSTRACT

A maximal repetition, or run, in a string, is a maximal periodic substring whose smallest period is at most half the length of the substring. In this paper, we consider runs that correspond to a path on a trie, or in other words, on a rooted edge-labeled tree where the endpoints of the path must be a descendant/ancestor of the other. For a trie with $n$ edges, we show that the number of runs is less than $n$. We also show an asymptotic lower bound on the maximum density of runs in tries: $\\lim_{n\ ightarrow\\infty}\ ho_\\mathcal{T}(n)/n \\geq 0.993238$ where $\ ho_{\\mathcal{T}}(n)$ is the maximum number of runs in a trie with $n$ edges. Furthermore, we also show an $O(n\\log \\log n)$ time and $O(n)$ space algorithm for finding all runs.

研究动机与目标

• 将字符串运行的概念扩展到有根、边带标签的树（字典树）中，其中运行是根到节点路径上的最大周期子串。
• 分析具有 n 条边的字典树中可能存在的最大运行数量，建立上下界。
• 设计一种高效算法以计算字典树中的所有运行，优于先前 O(n(log log n)^2) 的解决方案。
• 探索运行、Lyndon 单词以及字典树环境中最长公共扩展（LCE）查询之间的联系。

提出的方法

• 利用每个运行都包含一个 Lyndon 单词（L-root）作为子串的性质，以此指导字典树中运行的检测。
• 通过在间隔为 b^{4/5} 的位置设置标记节点，对字典树进行分层分解，以支持长度为 b^{4/5} 的子串的高效 LCE 查询。
• 使用后缀树对长度为 x^2 = b^{4/5} 的规范路径进行重命名和排序，以实现线性时间排序和通过范围最小值查询计算 LCE。
• 采用两级 LCE 策略：首先在重命名的路径段（长度为 b^{4/5}）上计算 LCE，然后通过常数时间 LCE 查询在原始路径上解决剩余的短前缀。
• 使用基数排序和范围最小值查询结构，在 O(n) 时间内计算字典序相邻的重命名规范路径之间的 LCE。
• 结合上述技术，以 O(n log log n) 的总时间复杂度回答 O(n) 个树路径 LCE 查询批次，构成运行查找算法的核心。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 n 条边的字典树中，最多可以存在多少个运行？其与边数相比如何？
• RQ2 字符串中的运行概念能否有意义地推广到有根、边带标签的树（字典树）中？此类运行具有何种结构特性？
• RQ3 是否存在一种高效算法来计算字典树中的所有运行？可达到的最佳时间复杂度是什么？
• RQ4 字典树中运行的渐近密度是多少？当 n 增大时，其与 n 的接近程度如何？
• RQ5 字符串运行计算中的技术——如 Lyndon 单词性质和 LCE 数据结构——能否被适配到字典树环境中？

主要发现

• 具有 n 条边的字典树中，运行的最大数量严格小于 n，即上界为 ρ(n) ≤ n。
• 运行密度的渐近下界至少为 0.993238，即 lim_{n→∞} ρ_T(n)/n ≥ 0.993238。
• 提出了一种时间复杂度为 O(n log log n)、空间复杂度为 O(n) 的算法，用于在整数字母表上计算字典树中所有运行。
• 该算法依赖于分层路径分解、规范路径的重命名，以及通过范围最小值查询实现的高效 LCE 计算。
• 该方法可在 O(n log n) 时间内输出所有原根平方（primitively rooted squares），该复杂度是紧致的，因为某些字典树中存在 Θ(n log n) 个此类平方。
• 研究结果表明，字典树中的运行不仅数量众多，而且可高效计算，其时间复杂度相比字符串运行仅略有增加。