[论文解读] Efficiently Counting Vertex Orbits of All 5-vertex Subgraphs, by EVOKE

Noujan Pashanasangi, C. Seshadhri|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2019

Complex Network Analysis Techniques参考文献 60被引用 4

一句话总结

EVOKE 是一种可扩展的算法，能够高效计算大规模图中所有 5-个顶点子图的精确顶点轨道计数（VOC），通过广义图切割框架将较大子图计数与较小子图计数通过多项式方程关联。与先前方法相比，其性能最高可提升数百倍，在普通硬件上处理包含数千万条边的图仅需不到一小时，且与总子图计数相比仅增加少量常数因子开销。

ABSTRACT

Subgraph counting is a fundamental task in network analysis. Typically, algorithmic work is on total counting, where we wish to count the total frequency of a (small) pattern subgraph in a large input data set. But many applications require local counts (also called vertex orbit counts) wherein, for every vertex $v$ of the input graph, one needs the count of the pattern subgraph involving $v$. This provides a rich set of vertex features that can be used in machine learning tasks, especially classification and clustering. But getting local counts is extremely challenging. Even the easier problem of getting total counts has received much research attention. Local counts require algorithms that get much finer grained information, and the sheer output size makes it difficult to design scalable algorithms. We present EVOKE, a scalable algorithm that can determine vertex orbits counts for all 5-vertex pattern subgraphs. In other words, EVOKE exactly determines, for every vertex $v$ of the input graph and every 5-vertex subgraph $H$, the number of copies of $H$ that $v$ participates in. EVOKE can process graphs with tens of millions of edges, within an hour on a commodity machine. EVOKE is typically hundreds of times faster than previous state of the art algorithms, and gets results on datasets beyond the reach of previous methods. Theoretically, we generalize a recent "graph cutting" framework to get vertex orbit counts. This framework generate a collection of polynomial equations relating vertex orbit counts of larger subgraphs to those of smaller subgraphs. EVOKE carefully exploits the structure among these equations to rapidly count. We prove and empirically validate that EVOKE only has a small constant factor overhead over the best (total) 5-vertex subgraph counter.

研究动机与目标

• 为解决在大规模图中计算所有 5-个顶点子图的精确顶点轨道计数（VOC）这一挑战，这些计数在机器学习和网络分析中至关重要。
• 克服现有方法的可扩展性限制，这些方法在大规模图上无法终止，或依赖近似方法或需要专用硬件的并行化方法。
• 设计一种算法，通过广义图切割框架利用子图计数之间的结构关系，高效计算 VOC。
• 证明计算细粒度的局部子图特征（VOC）与计算全局子图计数一样可行，仅带来少量常数因子性能损失。

提出的方法

• EVOKE 将近期提出的图切割框架推广，推导出将较大子图的顶点轨道计数与较小子图计数关联的多项式方程。
• 系统性地利用这些方程的代数结构，无需枚举所有子图即可计算 VOC，从而最小化冗余计算。
• 该算法并行处理轨道，运行时分布显示仅有少数轨道（如 5-团、5-环）主导计算时间，从而实现高效的负载均衡。
• 支持诱导子图与非诱导子图计数，且通过大量实验验证了结果的精确性。
• 该方法实现为独立软件包，并在包括社交网络和网页图在内的多种真实世界图上进行了验证。
• EVOKE 的设计确保与最佳已知总子图计数器（ESC-5）相比仅有极小的常数因子开销，该结论已通过理论证明并经实证验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在可扩展性上高效计算所有 5-个顶点子图的精确顶点轨道计数，超越先前方法的极限？
• RQ2 与全局子图计数相比，计算 VOC 的理论与实际性能开销是多少？
• RQ3 图切割框架能否被推广以支持顶点轨道计数，且其效率如何？
• RQ4 不同轨道之间的运行时间分布如何影响并行化与整体性能？
• RQ5 VOC 能否揭示现实网络中顶点的语义有意义的洞察，例如引文图或社交图中的情况？

主要发现

• EVOKE 在普通机器上处理边数高达 6.27 亿条的图（如 com-orkut）时，运行时间不足一小时，远超先前工具 ORCA 的可扩展性极限。
• EVOKE 与 ESCAPE（最先进的全局计数器）的运行时间比始终低于 2，且在所有数据集中从未超过 4，验证了其极小的常数因子开销。
• 5-团与 5-环轨道合计占总运行时间的一半左右，表明它们是计算中最耗时的组件。
• 轨道计算的并行化带来了 1.5 至 2 倍的加速，证实了不同轨道类型之间的计算天然具有可并行性。
• VOC 分布在不同图中差异显著：例如，在 web-google-dir 中，轨道 17（4-路径中心）的计数达到数万亿，而轨道 70（5-团减去一条边）的尾部行为则广泛变化。
• 语义上有意义的顶点可从 VOC 中浮现：书籍 "C4.5" 在 4-路径中心轨道中具有最高计数，而 VLDB 94 论文在 5-团参与中最多，证实了该方法的可解释性。