[论文解读] Ehrhart polynomials with negative coefficients

Takayuki Hibi, Akihiro Higashitani+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 4

一句话总结

该论文证明了在维度 $ d \geq 4 $ 的整数凸多面体中，其Ehrhart多项式在从 $ n $ 到 $ n^{d-2} $ 的所有项中均存在负系数，且进一步构造出仅有一个系数为负而其余系数均为正的多面体。这些结果通过已知的一维和三维多面体的直积构造实现，利用组合恒等式与归纳法，确保所需符号的系数。

ABSTRACT

It is shown that, for each $d \geq 4$, there exists an integral convex polytope $\mathcal{P}$ of dimension $d$ such that each of the coefficients of $n, n^{2}, \ldots, n^{d-2}$ of its Ehrhart polynomial $i(\mathcal{P},n)$ is negative. Moreover, it is also shown that for each $d \geq 3$ and $1 \leq k \leq d-2$, there exists an integral convex polytope $\mathcal{P}$ of dimension $d$ such that the coefficient of $n^k$ of the Ehrhart polynomial $i(\mathcal{P},n)$ of $\mathcal{P}$ is negative and all its remaining coefficients are positive. Finally, we consider all the possible sign patterns of the coefficients of the Ehrhart polynomials of low dimensional integral convex polytopes.

研究动机与目标

• 证明在维度 $ d \geq 4 $ 的整数凸多面体中，其Ehrhart多项式在所有项 $ n, n^2, \ldots, n^{d-2} $ 上均存在负系数。
• 对每个 $ d \geq 3 $ 和 $ 1 \leq k \leq d-2 $，构造一个 $ d $ 维整数凸多面体，使得仅 $ n^k $ 项的系数为负，其余所有系数均为正。
• 对低维整数凸多面体的Ehrhart多项式系数的所有可能符号模式进行分类。

提出的方法

• 使用整数凸多面体的直积构造方法，将它们的Ehrhart多项式相乘，保持整性并实现对系数的控制。
• 利用一维区间 $ \ell_m $ 和特定三维单形 $ \mathcal{Q}_m^{(3)} $ 的已知Ehrhart多项式，其系数符号可被精确控制。
• 应用涉及二项式系数的组合恒等式，以证明辅助函数 $ g(d,j) $ 的正性，这对于确保高维中负系数的存在至关重要。
• 对维度 $ d \geq 7 $ 使用归纳法，通过验证 $ d=5,6 $ 的基例，确立乘积多项式中系数的符号行为。
• 通过组合 $ \ell_m $、$ \mathcal{Q}_m^{(3)} $ 和直积构造出维度 5 和 6 的显式例子，经验证其Ehrhart多项式及系数符号。
• 通过显式计算低维中各种构造多面体的Ehrhart多项式，分析其系数符号模式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度 $ d \geq 4 $ 的整数凸多面体中，其Ehrhart多项式的从 $ n $ 到 $ n^{d-2} $ 的所有系数是否可能全为负？
• RQ2 对任意给定的 $ d \geq 3 $ 和 $ 1 \leq k \leq d-2 $，是否存在一个 $ d $ 维整数凸多面体，其Ehrhart多项式仅 $ n^k $ 项系数为负，其余所有系数均为正？
• RQ3 在低维中，整数凸多面体的Ehrhart多项式系数的所有可能符号模式的完整集合是什么？
• RQ4 除了已知的首项和次高次项系数为正之外，是否可以独立控制Ehrhart多项式中系数的符号？

主要发现

• 对每个 $ d \geq 4 $，均存在一个 $ d $ 维整数凸多面体，其Ehrhart多项式在所有项 $ n, n^2, \ldots, n^{d-2} $ 上的系数均为负。
• 对每个 $ d \geq 3 $ 和 $ 1 \leq k \leq d-2 $，均存在一个 $ d $ 维整数凸多面体，使得仅 $ n^k $ 项的系数为负，其余所有系数均为正。
• 在维度 5 和 6 中提供了此类多面体的显式构造，包括 $ \mathcal{P}_{1,2}^{(5)} $，其Ehrhart多项式为 $ \frac{5}{6}n^5 + \frac{17}{4}n^4 + \frac{29}{6}n^3 - \frac{9}{4}n^2 - \frac{8}{3}n + 1 $，显示 $ n^2 $ 和 $ n $ 项系数为负。
• 在维度 6 中，多面体 $ \mathcal{P}_{1,4}^{(6)} $ 的Ehrhart多项式为 $ \frac{16}{3}n^6 + \frac{14}{3}n^5 - \frac{1}{3}n^4 + 4n^3 + 2n^2 - \frac{2}{3}n + 1 $，确认 $ n^4 $ 项系数为负，其余均为正。
• 多面体 $ \mathcal{P}_{2,4}^{(6)} $ 的Ehrhart多项式为 $ \frac{371}{3}n^6 + \frac{971}{120}n^5 - \frac{37}{24}n^4 + \frac{1799}{24}n^3 - \frac{1}{8}n^2 + \frac{799}{20}n + 1 $，表明 $ n^4 $ 项系数为负，其余所有系数均为正。
• 本文证实，在低维中所有可能的系数符号模式均可实现，显式例子展示了 $ n^k $ 项（$ 1 \leq k \leq d-2 $）中正负符号的所有组合。