[论文解读] Ehrhart Quasi-Polynomials of almost integral polytopes

Christopher de Vries|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2021

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用 2

一句话总结

本文建立了几乎整数多面体的几何性质（特别是中心对称性和拟柱体结构）与它们的Ehrhart准多项式之间的精确对应关系：对称性和GCD性质。证明了当且仅当每个有理平移的Ehrhart准多项式都具有对称性时，一个格点多面体才是中心对称的；当且仅当每个这样的平移都产生具有GCD性质的准多项式时，该多面体才是拟柱体，从而通过其Ehrhart函数对这些多面体进行了刻画。

ABSTRACT

A lattice polytope translated by a rational vector is called an almost integral polytope. In this paper we investigate Ehrhart quasi-polynomials of almost integral polytopes. We study the relationship between the shape of the polytopes and algebraic properties of the Ehrhart quasi-polynomials. In particular, we prove that lattice zonotopes and centrally symmetric lattice polytopes are characterized by Ehrhart quasi-polynomials of their rational translations.

研究动机与目标

• 研究几乎整数多面体的几何特征与其Ehrhart准多项式代数性质之间的联系。
• 确定一个有理平移的Ehrhart准多项式中是否存在对称性或GCD性质，是否能刻画特定类型的多面体。
• 基于Ehrhart准多项式在有理平移下的行为，建立格点多面体为中心对称或拟柱体的必要与充分条件。

提出的方法

• 利用Ardila-Beck-McWhirter给出的几乎整数拟柱体的Ehrhart准多项式公式，作者证明了此类准多项式满足GCD性质。
• 引入平移后的格点计数器 $ L(P,c)(t) = \#((c + tP) \cap \mathbb{Z}^d) $，并证明其为 $ t \in \mathbb{Z}_{>0} $ 上的多项式，从而能够完整描述Ehrhart准多项式的组成部分。
• 证明 $ L(P,c)(t) = L(P,-c)(t) $ 当且仅当 $ P $ 是中心对称的，从而确立了对所有有理 $ c $，$ L_{c+P}(t) $ 的对称性恰好当且仅当 $ P $ 是中心对称的。
• 利用McMullen对拟柱体通过面的中心对称性的刻画，证明若 $ P $ 不是拟柱体，则存在一个分母为奇数的有理 $ c $，使得 $ L(P,c)(t) \neq L(P,2c)(t) $，从而违反GCD性质。
• 利用Minkowski关于面法向量和体积的定理，构造了当 $ P $ 不是中心对称时对称性不成立的反例。
• 通过分析最小周期及其在缩放下不变性，说明可以不失一般性地聚焦于最小周期。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有有理向量 $ c $，$ L_{c+P}(t) $ 的对称性是否意味着 $ P $ 是中心对称的？
• RQ2 对所有有理向量 $ c $，$ L_{c+P}(t) $ 的GCD性质是否意味着 $ P $ 是拟柱体？
• RQ3 是否存在除了几乎整数拟柱体之外的有理多面体，其Ehrhart准多项式也满足GCD性质？
• RQ4 几乎整数拟柱体的Ehrhart准多项式与超平面排列的特征准多项式之间有何关系？

主要发现

• 格点多面体 $ P $ 是中心对称的当且仅当对每个有理向量 $ c $，Ehrhart准多项式 $ L_{c+P}(t) $ 都具有对称性，此结论由定理4.2证明。
• 格点多面体 $ P $ 是拟柱体当且仅当对每个有理向量 $ c $，Ehrhart准多项式 $ L_{c+P}(t) $ 都满足GCD性质，此结论由定理5.5确立。
• 对于几乎整数拟柱体 $ P_3 = (\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{3})^T + [0,1]^3 $，其Ehrhart准多项式 $ L_{P_3}(t) $ 仅有三个不同的组成部分，其中 $ f_1(t) = f_2(t) = f_4(t) = f_5(t) = f_7(t) = f_8(t) = t^3 $，$ f_3(t) = f_6(t) = t^3 + t^2 $，$ f_9(t) = (t+1)^3 $，展示了周期 $ \rho = 9 $ 下的GCD性质。
• 对于中心对称的几乎整数八面体 $ P_2 = (\frac{5}{9}, \frac{5}{9}, \frac{2}{3})^T + \text{Conv}\{\pm e_i\} $，其Ehrhart准多项式 $ L_{P_2}(t) $ 满足 $ f_k(t) = f_{9-k}(t) $，确认了周期 $ \rho = 9 $ 下的对称性。
• 平移后的格点计数器 $ L(P,c)(t) $ 是 $ t \in \mathbb{Z}_{>0} $ 上的多项式，从而允许对 $ L_{c+P}(t) $ 的组成部分进行完整描述，如推论3.4所示。
• Ehrhart准多项式的最小周期在缩放下保持不变：若一个准多项式对其最小周期 $ \rho_0 $ 满足GCD性质，则对其任意倍数 $ k\rho_0 $ 也满足该性质，此结论由命题1.4证明。