[论文解读] Eigenpath Traversal by Poisson-Distributed Phase Randomisation

Pedro C. S. Costa, Dong An|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 3

一句话总结

本文提出通过泊松分布相位随机化实现特征路径遍历，以高效求解线性系统，方法基于离散绝热量子行走。对随机矩阵的数值模拟显示，量子行走实际成本的常数因子约为理论上限的1,200分之一，使得该方法在实际应用中显著优于原始理论边界和一种竞争性随机化方法，平均成本降低7倍。

ABSTRACT

The solution of linear systems of equations is the basis of many other quantum algorithms, and recent results provided an algorithm with optimal scaling in both the condition number $κ$ and the allowable error $ε$ [PRX Quantum extbf{3}, 040303 (2022)]. That work was based on the discrete adiabatic theorem, and worked out an explicit constant factor for an upper bound on the complexity. Here we show via numerical testing on random matrices that the constant factor is in practice about 1,200 times smaller than the upper bound found numerically in the previous results. That means that this approach is far more efficient than might naively be expected from the upper bound. In particular, it is about an order of magnitude more efficient than using a randomised approach from [arXiv:2305.11352] that claimed to be more efficient.

研究动机与目标

• 评估离散绝热量子行走（QW）方法在求解线性系统时的实际效率，该方法虽具有最优渐近复杂度，但理论常数因子较大。
• 通过数值模拟，比较QW方法与随机化绝热方法（RM）在实际运行时间和资源成本方面的表现。
• 确定QW方法常数因子的理论上限是否真实反映实际性能。
• 评估整体复杂度，包括绝热演化和滤波步骤，针对量子线性系统求解中的实际误差目标。

提出的方法

• 离散绝热量子行走（QW）方法通过量子行走算符WT(s)沿线性系统的特征路径演化量子态，时间步长由离散绝热定理确定。
• 对演化相位应用泊松分布随机化，以抑制非绝热跃迁，提升收敛至解态的性能。
• 该方法首先使用固定步数的量子行走生成低精度解，随后通过滤波步骤将精度提升至目标误差ϵ。
• 作为对比，随机化方法（RM）通过随机化演化时间来模拟量子Zeno效应，其成本量级为O(κ log(κ/ϵ))。
• 在16×16的随机矩阵上进行数值模拟，条件数κ=50，改变目标误差ϵ，测量所需行走步数。
• 成本被分解为绝热演化和滤波两部分，总成本在ϵ和拟合参数α（QW）与β（RM）上最小化。

实验结果

研究问题

• RQ1 离散绝热量子行走方法中常数因子的理论上限是否真实反映其在随机矩阵上的实际性能？
• RQ2 在总步数和资源使用方面，量子行走方法的实际成本与随机化绝热方法相比如何？
• RQ3 对于实际误差目标，滤波步骤是否主导总成本，还是绝热演化为主要贡献者？
• RQ4 泊松分布相位随机化是否能在实际中显著减少所需量子行走步数？
• RQ5 在数值测量中，QW方法的有效常数因子α是多少？与理论上限相比如何？

主要发现

• 量子行走方法的实际常数因子α为1.84，约为先前工作中报告的理论上限2305的1,200分之一。
• 尽管具有最优渐近复杂度，原始理论边界却高估了实际所需成本。
• 量子行走方法在平均情况下比随机化方法（RM）约高效7倍，尽管此前认为RM具有更小的常数因子。
• 对于实际误差目标（ϵ ≳ 0.0004），绝热演化成本主导总成本；而对于极小的ϵ，滤波步骤变得更为显著。
• 量子行走方法的总成本与滤波成本相当，甚至在某些情况下更低，尤其在正定矩阵或当ϵ ≪ 1时。
• 尽管具有更紧的解析边界，随机化方法在实际中成本远高于量子行走方法，且其绝热部分成本显著更高。