[论文解读] Eigenprojectors, Bloch vectors and quantum geometry of $N$-band systems

Ansgar Graf, Frédéric Piéchon|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2021

Topological Materials and Phenomena参考文献 70被引用 4

一句话总结

本文提出了一种规范不变的框架，用于在 $N$-带系统中利用本征投影算符和广义布洛赫向量计算量子几何张量——贝里曲率和量子度量，从而避免了传统本征态构造方法中的问题。该研究推导出两带贝里曲率公式的 $N$-带推广形式，并揭示了在能谱相同但对称性不同的系统中存在显著不同的几何特性。

ABSTRACT

The eigenvalues of a parameter-dependent $N imes N$ Hamiltonian matrix form a band structure in parameter space. Quantum geometric properties (Berry curvature, quantum metric, etc.) of such $N$-band systems are usually computed from parameter-dependent eigenstates. This approach faces several difficulties, including gauge ambiguities and singularities in the multicomponent eigenfunctions. In order to circumvent this problem, this work exposes an alternative approach based on eigenprojectors and (generalized) Bloch vectors. First, an expansion of each eigenprojector as a matrix polynomial in the Hamiltonian is deduced, and using SU($N$) Gell-Mann matrices an equivalent expansion of each Bloch vector is found. In a second step, expressions for the $N$-band Berry curvature and quantum metric in terms of Bloch vectors are obtained. This leads to new explicit Berry curvature formulas in terms of the Hamiltonian vector, generalizing the well-known two-band formula to arbitrary $N$. Moreover, a detailed treatment is given for the case of a particle-hole symmetric energy spectrum, which occurs in systems with a chiral or charge conjugation symmetry. For illustrating the formalism, several model Hamiltonians featuring a multifold linear band crossing are discussed; they have identical energy spectra but completely different geometric and topological properties. The methodology used in this work is more broadly applicable to compute any physical quantity, or to study the quantum dynamics of any observable without the explicit construction of energy eigenstates.

研究动机与目标

• 为解决在 $N$-带系统中基于本征态计算量子几何张量时出现的规范模糊性和奇点问题。
• 发展一种无需显式构造多分量本征态即可计算贝里曲率和量子度量的理论形式。
• 利用 SU($N$) 群理论将两带贝里曲率公式推广至任意 $N$-带系统。
• 利用新形式对具有粒子-空穴对称性的系统（如具有手性或电荷共轭对称性的系统）进行分析。
• 通过具有简并度更高的能带交叉的模型哈密顿量，证明相同的能谱可以支持截然不同的几何和拓扑性质。

提出的方法

• 将每个本征投影算符展开为哈密顿量矩阵的矩阵多项式。
• 使用 SU($N$) 格利曼矩阵表示每个本征投影算符，以定义广义布洛赫向量。
• 基于这些布洛赫向量，获得 $N$-带贝里曲率和量子度量的显式表达式。
• 利用哈密顿量向量将两带贝里曲率公式推广至任意 $N$。
• 将该形式应用于具有多重线性能带交叉的模型哈密顿量，以比较其几何特性。
• 展示该方法在无需构造本征态的情况下，也可广泛用于计算物理可观测量和研究量子动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖参数依赖的本征态的情况下，计算 $N$-带系统中的量子几何张量？
• RQ2 两带贝里曲率公式如何推广至任意 $N$-带系统？
• RQ3 在能谱相同但对称性不同的系统中，几何和拓扑特性有何差异？
• RQ4 粒子-空穴对称性在塑造 $N$-带系统的量子几何中起什么作用？
• RQ5 该形式是否可用于在不显式计算本征态的情况下计算可观测量或研究动力学？

主要发现

• 本文推导出基于哈密顿量向量的 $N$-带贝里曲率的规范不变表达式，将两带公式推广至任意 $N$。
• 该形式通过布洛赫向量展开实现了 $N$-带系统中量子度量的计算，避免了本征态中的奇点。
• 对于粒子-空穴对称系统，该形式揭示了贝里曲率和量子度量受对称性结构的约束。
• 具有相同线性能带交叉但不同对称性的模型哈密顿量表现出截然不同的几何和拓扑特性，该形式揭示了这一点。
• 该方法可在不构造本征态的情况下直接计算物理可观测量和量子动力学，显著提升了数值和解析上的可行性。
• 使用本征投影算符和布洛赫向量提供了一种稳健、无奇点的替代方案，相较于标准本征态方法在量子几何研究中更具优势。