[论文解读] Eigenstate Thermalization Hypothesis in Conformal Field Theory

Nima Lashkari, Anatoly Dymarsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2016

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用 9

一句话总结

该论文证明，在共形场论（CFT）中，局部原初算符的本征态热化假说（ETH）——即局部ETH——意味着任意有限子系统全约化密度矩阵的ETH，包括Rényi熵。在1+1维CFT中，这导致一个普遍的密度矩阵，可由Virasoro恒等块良好近似，其纠缠熵与热态完全匹配，而Rényi熵则因希尔伯特空间维度无限而存在有限修正。

ABSTRACT

We investigate the eigenstate thermalization hypothesis (ETH) in d+1 dimensional conformal field theories by studying reduced density matrices in energy eigenstates. We show that if local probes of high energy primary eigenstates satisfy ETH, then any finite energy observable with support on a subsystem of finite size satisfies ETH. In two dimensions, we discover that if ETH holds locally, the finite size reduced density matrix of states created by heavy primary operators is well-approximated by a projection to the Virasoro identity block.

研究动机与目标

• 建立CFT中局部ETH与有限子系统约化密度矩阵全ETH之间严格联系。
• 证明局部ETH意味着子系统中所有有限能量可观测量（甚至超越少数体算符）的ETH。
• 在二维CFT中，当局部ETH成立时，能量本征态密度矩阵可由Virasoro恒等块良好近似。
• 计算能量本征态中区间上的普遍Rényi熵，并与热态结果比较。
• 将局部ETH识别为CFT中量子混沌的潜在定义，以区别于可积模型。

提出的方法

• 使用共形映射将球面上的能量本征态与平直空间中的局部原初算符关联，实现解析控制。
• 将局部ETH定义为能量本征态中局部原初算符矩阵元在对角线上平滑且非对角元指数衰减。
• 应用欧氏路径积分技术，计算本征态与热态约化密度矩阵之间偏差的迹范数与二阶范数。
• 在1+1维CFT中，基于局部ETH，通过投影到Virasoro恒等块，推导子系统的普遍密度矩阵。
• 使用普遍密度矩阵，按 $ R / \lambda_T $ 的幂级数逐阶计算Rényi熵，并与热态结果比较。
• 利用Fannes-Audenaert不等式与相对熵界，证明本征态与热态密度矩阵之间的迹距离在熵的指数下界内。

实验结果

研究问题

• RQ1 在CFT中，局部ETH是否意味着任意有限子系统的全约化密度矩阵的ETH？
• RQ2 在1+1维CFT中，当局部ETH成立时，能量本征态的约化密度矩阵是否可由Virasoro恒等块近似？
• RQ3 能量本征态中的Rényi熵与热态中的Rényi熵相比如何？任何差异由何原因造成？
• RQ4 局部ETH能否作为CFT中量子混沌的定义，以区别于可积模型？
• RQ5 无限希尔伯特空间维度在本征态与热态之间纠缠熵与Rényi熵差异中起何作用？

主要发现

• 局部ETH意味着CFT中任意有限子系统的约化密度矩阵在迹范数下与热密度矩阵呈指数接近。
• 在1+1维CFT中，当局部ETH成立时，高能本征态的约化密度矩阵可由投影到Virasoro恒等块良好近似。
• 本征态密度矩阵的纠缠熵（$ n=1 $）与热密度矩阵完全匹配，尽管更高阶Rényi熵存在差异。
• Rényi熵与热态值的差异由 $ (R/\lambda_T)^{2k} $ 比例的有限修正引起，对于 $ n>1 $，首次差异出现在 $ (R/\lambda_T)^4 $ 阶。
• 本征态与热态约化密度矩阵之间的迹距离被限制在 $ e^{-O(S(E))} $ 内，证实了ETH的最强形式。
• 对于 $ n>1 $，Rényi熵的差异源于无限维希尔伯特空间，即使状态在迹范数下接近，仍可存在有限差异。