[论文解读] Eigenvalue asymptotics for Schr\\"odinger operators on sparse graphs

Michel Bonnefont, Sylvain Golénia+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 36被引用 9

一句话总结

本文通过将几何稀疏性与拉普拉斯算子和顶点度函数相关的泛函不等式联系起来，建立了稀疏图上薛定谔算子的特征值渐近性质。证明了稀疏性蕴含一种控制拉普拉斯算子的二次型不等式，从而通过泛函分析方法得到显式的特征值渐近性质和谱离散性判别准则。

ABSTRACT

We consider Schr\\"odinger operators on sparse graphs. The geometric definition of sparseness turn out to be equivalent to a functional inequality for the Laplacian. In consequence, sparseness has in turn strong spectral and functional analytic consequences. Specifically, one consequence is that it allows to completely describe the form domain. Moreover, as another consequence it leads to a characterization for discreteness of the spectrum. In this case we determine the first order of the corresponding eigenvalue asymptotics.

研究动机与目标

• 刻画稀疏图上薛定谔算子的谱离散性与特征值渐近性质。
• 证明几何稀疏性等价于一个控制拉普拉斯算子的泛函不等式，该不等式以顶点度函数为基准。
• 对这类图上薛定谔算子的二次型定义域提供完整描述。
• 利用推导出的泛函不等式与谱比较原理，推导一阶特征值渐近性质。

提出的方法

• 为局部有限图引入一种几何稀疏性概念，通过有限子集中边数的统一有界性来定义。
• 证明这种几何稀疏性等价于一个泛函不等式：在二次型意义下，$(1-a)\text{deg} - k \trianglelefteq \trianglelefteq (1+a)\text{deg} + k$，其中 $a \to 0^+$ 且 $k \to 0$。
• 利用该泛函不等式，显式刻画薛定谔算子 $ riangle + q$ 的二次型定义域。
• 应用谱比较定理（例如定理 A.2）将 $ riangle + q$ 的特征值与受度函数控制的参考算子的特征值关联起来。
• 利用二次型核与闭图像定理，确保算子的有界性与自伴性。
• 利用引理 A.3 处理二次型扰动，并在势函数与磁场假设下推导不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 图的几何稀疏性如何影响其关联薛定谔算子的谱性质？
• RQ2 能否显式刻画稀疏图上薛定谔算子的二次型定义域？
• RQ3 在何种条件下，薛定谔算子的谱是离散的？
• RQ4 在稀疏图上，低于连续谱部分的特征值的一阶渐近行为是什么？
• RQ5 涉及度函数的泛函不等式如何控制拉普拉斯算子的谱行为？

主要发现

• 图的几何稀疏性等价于如下形式的泛函不等式：$(1-a)\text{deg} - k \trianglelefteq \trianglelefteq (1+a)\text{deg} + k$，在二次型意义下成立，其中 $a \to 0^+$ 且 $k \to 0$。
• 该不等式表明，薛定谔算子 $ riangle + q$ 的二次型定义域可显式刻画为 $ ext{dom}( riangle)$ 中满足 $q^{1/2}\text{dom}( riangle)$ 属于 $ ext{dom}( riangle)$ 的函数集合。
• 算子 $ riangle + q$ 的谱离散性由度函数在无穷远处足够快的增长条件所刻画。
• 低于连续谱部分的特征值一阶渐近性质通过与受度函数控制的参考算子比较得到确定。
• 特征值渐近性质满足 $c_1 \frac{\text{deg}(x)}{1 + \text{deg}(x)} \to \text{const}$，当 $|x| \to \text{infty}$ 时，常数取决于 $\text{deg}$ 的增长速率。
• 谱底与连续谱由泛函不等式控制，且连续谱的下确界有限当且仅当度函数有界。