[论文解读] Eigenvalue bounds for non-self-adjoint Schrödinger operators with the inverse-square potential

Haruya Mizutani|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文为 $ackslash mathbbackslash R^n$ ($n \geq 3$) 上具有临界反平方势 $-\frac{(n-2)^2}{4|x|^2}$ 与复值扰动的非自伴薛定谔算子建立了凯勒型特征值界。通过证明具有强奇异势的预解式满足一致的索伯列夫不等式，本文导出了控制离散特征值谱半径的 $L^{n/2+\gamma,\infty}$-范数估计，将先前结果推广至临界奇点与具有类似奇异性行为的次临界势，实现了突破。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study spectral properties of non-self-adjoint Schrödinger operators $-Δ-\frac{(n-2)^2}{4|x|^{2}}+V$ on $\mathbb{R}^n$ with complex-valued potentials $V\in L^{p,\infty}$, $p>n/2$. We prove Keller type inequalities which measure the radius of a disc containing the discrete spectrum, in terms of the $L^{p,\infty}$ norm of $V$. Similar inequalities also hold if the inverse-square potential is replaced by a large class of subcritical potentials with critical singularities at the origin. The main new ingredient in the proof is the uniform Sobolev inequality of Kenig-Ruiz-Sogge type for Schrödinger operators with strongly singular potentials, which is of independent interest.

研究动机与目标

• 将凯勒型特征值界推广至具有临界反平方势 $-\frac{(n-2)^2}{4|x|^2}$ 与复值势的非自伴薛定谔算子。
• 解决当势函数不属于 $L^p$ 而仅属于弱-$L^p$ 空间（特别是 $L^{n/2+\gamma,\infty}$）时，此类算子缺乏谱估计的问题。
• 建立具有强奇异势的薛定谔算子预解式的统一索伯列夫不等式，该结果本身具有独立兴趣。
• 将界推广至一类在原点具有临界奇异性但非反平方势的次临界势。

提出的方法

• 证明依赖于伯尔曼-施维泽引理，该引理将特征值估计转化为对涉及预解式 $(-\Delta - z)^{-1}$ 的伯尔曼-施维泽核的控制。
• 关键创新在于推导出适用于预解式 $(-\Delta - C_{\rm H}|x|^{-2} - z)^{-1}$ 的、类型为凯尼格-鲁伊斯-索杰的统一索伯列夫不等式，且对 $z \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$ 成立。
• 该方法利用复标度与卡尔莱曼估计，控制预解式在 $L^{p,2} \to L^{p'\!,2}$ 算子范数下的行为，并在 $|z|$ 上表现出衰减。
• 采用弱勒贝格范数 $\|V\|_{L^{n/2+\gamma,\infty}}$ 以处理比 $L^{n/2+\gamma}$ 更奇异的势，从而实现对 $|x|^{-2}$ 等势的控制，这些势在 $p \neq n/2$ 时不属于 $L^p$。
• 该论证进一步推广至满足假设 1.4 的次临界势 $V_\delta$，利用微扰估计与哈代型不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有临界反平方势与复值势（属于 $L^{n/2+\gamma,\infty}$）的非自伴薛定谔算子建立凯勒型特征值界？
• RQ2 在具有临界奇异性的非自伴情形下，控制离散特征值谱半径的最优 $L^p$-型范数为何种形式？
• RQ3 如何将统一索伯列夫不等式推广至具有强奇异势（如 $C_{\rm H}|x|^{-2}$）的薛定谔算子？
• RQ4 能否将特征值界推广至一类在原点具有临界奇异性但非反平方势的次临界势？
• RQ5 弱勒贝格范数 $L^{p,\infty}$ 在将谱估计推广至更奇异势中起到何种作用？

主要发现

• 本文证明了形如 $|E|^\gamma \leq C_{\gamma,n} \|V\|_{L^{n/2+\gamma,\infty}}^{n/2+\gamma}$ 的凯勒型不等式，其中特征值 $E \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$，对 $\gamma > 0$ 与 $n \geq 3$ 成立，且常数 $C_{\gamma,n}$ 与 $V$ 和 $E$ 无关。
• 即使 $V$ 不属于 $L^{n/2+\gamma}$，而仅属于弱-$L^{n/2+\gamma}$ 空间，该界依然成立，从而可处理 $|x|^{-2}$ 等势，这些势在 $p \neq n/2$ 时不属于 $L^p$。
• 建立了适用于预解式 $(-\Delta - C_{\rm H}|x|^{-2} - z)^{-1}$ 的凯尼格-鲁伊斯-索杰型统一索伯列夫不等式，其算子范数有界为 $C_p |z|^{-\frac{n+2}{2} + \frac{n}{p}}$，其中 $2n/(n+2) < p \leq 2(n+1)/(n+1)$。
• 该方法可推广至满足假设 1.4 的次临界势 $V_\delta$，并得到与 $V$ 的弱-$L^{n/2+\gamma}$ 范数相同依赖关系的类似特征值界。
• 在临界情形下，预解式估计导出了对解 $u = (H_\delta - z)^{-1}f$ 的估计 $\|r^{-1}u\|_{L^2}^2 \leq C \delta^{-4} \|rf\|_{L^2}^2$，这对谱估计至关重要。
• 本结果优于先前工作，允许更奇异的势，并将适用范围扩展至具有临界反平方势及相关奇异性之非自伴算子。