[论文解读] Eigenvalue multiplicity and volume growth

James R. Lee, Yury Makarychev|ArXiv.org|Jun 10, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 13

一句话总结

本文在有限Cayley图和具有受控体积增长的紧致黎曼流形上，建立了特征值重数的有效、有限的界，使用拉普拉斯算子的第二特征空间替代Kleiner证明Gromov定理时所用的调和函数。该方法导出了量化的群论结论：具有有界倍增常数的有限群，其大商群同构于ℤ_M，且低维表示的像大小显著，从而提供了Gromov多项式增长定理的有效类比。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group with symmetric generating set $S$, and let $c = \max_{R > 0} |B(2R)|/|B(R)|$ be the doubling constant of the corresponding Cayley graph, where $B(R)$ denotes an $R$-ball in the word-metric with respect to $S$. We show that the multiplicity of the $k$th eigenvalue of the Laplacian on the Cayley graph of $G$ is bounded by a function of only $c$ and $k$. More specifically, the multiplicity is at most $\exp((\log c)(\log c + \log k))$. Similarly, if $X$ is a compact, $n$-dimensional Riemannian manifold with non-negative Ricci curvature, then the multiplicity of the $k$th eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator on $X$ is at most $\exp(n^2 + n log k)$. The first result (for $k=2$) yields the following group-theoretic application. There exists a normal subgroup $N$ of $G$, with $[G : N] \leq α(c)$, and such that $N$ admits a homomorphism onto the cyclic group $Z_M$, where $M \geq |G|^{δ(c)}$ and $α(c), δ(c) > 0$ are explicit functions depending only on $c$. This is the finitary analog of a theorem of Gromov which states that every infinite group of polynomial growth has a subgroup of finite index which admits a homomorphism onto the integers. This addresses a question of Trevisan, and is proved by scaling down Kleiner's proof of Gromov's theorem. In particular, we replace the space of harmonic functions of fixed polynomial growth by the second eigenspace of the Laplacian on the Cayley graph of $G$.

研究动机与目标

• 为有限群提供Gromov多项式增长群定理的有效、有限类比。
• 在有限Cayley图中，用离散拉普拉斯算子的第二特征空间替代Kleiner证明中关键的多项式增长调和函数。
• 基于Cayley图的倍增常数，推导出特征值重数与群表示维数的量化界。
• 回答Trevisan关于具有受控体积增长的有限群是否存在有效、量化的表示这一问题。

提出的方法

• 定义有限群 $ G $ 的Cayley图的倍增常数 $ c = \max_R \frac{|B(2R)|}{|B(R)|} $，以捕捉体积增长特性。
• 将离散拉普拉斯算子在 $ \mathrm{Cay}(G;S) $ 上的第二特征空间 $ W_2 $ 作为固定多项式增长调和函数空间的有限类比。
• 利用尺度相关的Poincaré不等式与谱间隙估计，证明 $ W_2 $ 的维数被 $ \exp(O(\log c)^2) $ 所界。
• 由 $ G $ 在 $ W_2 $ 上的作用构造线性表示 $ \rho_W: G \to GL(W) $，并证明 $ \dim W \leq \exp(O(\log c)^2) $。
• 对像 $ \rho_W(G) \leq GL(W) $ 应用Jordan定理，提取一个大的阿贝尔商群 $ \mathbb{Z}_M $，满足 $ M \geq |\rho_W(G)|^{1/\dim W} $。
• 利用离散Cheeger不等式与直径界，对 $ |\rho_W(G)| $ 进行下界估计，得到 $ |\rho_W(G)| \gtrsim |G|^{1/\log_2 c} / c^{O(1)} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为有限群建立Gromov多项式增长群定理的有效、有限类比？
• RQ2 有限Cayley图上拉普拉斯算子第 $ k $ 个特征值的重数，其关于倍增常数的量化界是什么？
• RQ3 在有限设定中，能否有效替代固定多项式增长调和函数空间的第二特征空间？
• RQ4 第二特征空间维数与关联群表示像大小的最佳可能界是什么？
• RQ5 Cayley图的倍增常数如何控制有限群中存在同构于 $ \mathbb{Z}_M $ 的大商群？

主要发现

• 有限Cayley图上拉普拉斯算子第 $ k $ 个特征值的重数被 $ \exp(O(\log c)(\log c + \log k)) $ 所界，其中 $ c $ 为倍增常数。
• 对具有倍增常数 $ c $ 的有限群 $ G $，存在线性表示 $ \rho_W: G \to GL(W) $，满足 $ \dim W \leq \exp(O(\log c)^2) $ 且 $ |\rho_W(G)| \gtrsim |G|^{1/\log_2 c} / c^{O(1)} $。
• 存在正规子群 $ N \trianglelefteq G $，满足 $ [G:N] \leq \alpha(c) = O(k)^{k^2} $，其中 $ k = \dim W $，使得 $ N $ 可同态满射到 $ \mathbb{Z}_M $，且 $ M \geq c^{-O(1)} |G|^{1/(k \log_2 c)} $。
• Cayley图上拉普拉斯算子的第二特征值 $ \lambda_2 $ 满足 $ \lambda_2 \lesssim \frac{c^{O(1)}}{\mathrm{diam}(G)^2} $，将谱间隙与体积增长联系起来。
• Cayley图的直径满足 $ \mathrm{diam}(G) \geq |G|^{1/\log_2 c} $，该不等式被用于对表示像的大小进行下界估计。
• 该构造给出了Gromov定理的量化、有效类比：每个具有有界倍增常数的有限群，均存在一个同构于 $ \mathbb{Z}_M $ 的大商群，满足 $ M \geq |G|^{\delta(c)} $，其中 $ \delta(c) \geq \frac{1}{O(h \log c)} $ 且 $ h \leq \exp((\log c)^2) $。