[论文解读] Eigenvalue statistics for random block operators

Alexander Elgart, Daniel Schmidt|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 1

一句话总结

本文基于 $N \times N$ Hermitian 矩阵的一个 $(N-2m) \times (N-2m)$ 主子矩阵的 Schur 补，建立了一个充分条件，用于判断该矩阵是否具有 $m$ 个特征值接近零。该方法可应用于随机 Schrödinger 算子，实现 $m$-阶 Wegner 估计，并在 Anderson 模型和 Bogoliubov-de Gennes 超导体模型中得到验证。

ABSTRACT

We derive a sufficient condition for a Hermitian $N imes N$ matrix $A$ to have at least $m$ eigenvalues (counting multiplicities) in the interval $(-\epsilon, \epsilon)$. This condition is expressed in terms of the existence of a principal $(N-2m) imes (N-2m)$ submatrix of $A$ whose Schur complement in $A$ has at least $m$ eigenvalues in the interval $(-K\epsilon, K\epsilon)$, with an explicit constant $K$. We apply this result to a random Schrodinger operator $H_\omega$, obtaining a criterion that allows us to control the probability of having $m$ closely lying eigenvalues for $H_\omega$-a result known as an $m$-level Wegner estimate. We demonstrate its usefulness by verifying the input condition of our criterion for some physical models. These include the Anderson model and random block operators that arise in the Bogoliubov-de Gennes theory of dirty superconductors.

研究动机与目标

• 推导一个 Hermitian 矩阵具有 $m$ 个特征值在 $(-\epsilon, \epsilon)$ 内（计入重数）的充分条件。
• 基于大小为 $N-2m$ 的主子矩阵的 Schur 补，提供一个可计算的判据。
• 将该判据应用于随机 Schrödinger 算子，特别是用于推导 $m$-阶 Wegner 估计。
• 在物理模型（如 Anderson 模型和超导理论中的随机块算子）中验证输入条件。

提出的方法

• 该方法依赖于分析 $N \times N$ Hermitian 矩阵 $A$ 的一个 $(N-2m) \times (N-2m)$ 主子矩阵的 Schur 补。
• 证明：若 Schur 补在 $(-K\epsilon, K\epsilon)$ 内至少有 $m$ 个特征值，其中 $K$ 为一个显式常数，则 $A$ 在 $(-\epsilon, \epsilon)$ 内有 $m$ 个特征值。
• 通过矩阵分块分解和 Schur 补恒等式，将整个矩阵的特征值分布与较小子矩阵的特征值分布联系起来，从而形式化该条件。
• 该方法应用于随机 Schrödinger 算子 $H_\omega$，其中判据用于控制 $m$ 个特征值聚集在一起的概率。
• 利用对 Schur 补的概率估计，推导出特征值聚集可能性的界。
• 通过在特定物理模型（包括 Anderson 模型和超导理论中的随机块算子）中验证输入条件，验证了该框架的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个主子矩阵及其 Schur 补能保证 $N \times N$ Hermitian 矩阵在 $(-\epsilon, \epsilon)$ 内有 $m$ 个特征值？
• RQ2 如何利用约化子矩阵的 Schur 补来控制随机算子中的特征值聚集？
• RQ3 特征值聚集概率对 Schur 补谱性质的显式依赖关系是什么？
• RQ4 所提出的判据能否应用于 Anderson 模型和 Bogoliubov-de Gennes 系统等物理模型？
• RQ5 对于随机块算子，$m$ 个特征值落在 $\epsilon$-区间内的概率的定量界是什么？

主要发现

• 推导出一个充分条件，使得 $N \times N$ Hermitian 矩阵在 $(-\epsilon, \epsilon)$ 内至少有 $m$ 个特征值，其依据是 $(N-2m) \times (N-2m)$ 主子矩阵的 Schur 补。
• 该条件要求 Schur 补在 $(-K\epsilon, K\epsilon)$ 内至少有 $m$ 个特征值，其中显式常数 $K$ 在本文中已推导出。
• 该方法为随机 Schrödinger 算子 $H_\omega$ 提供了 $m$-阶 Wegner 估计，界定了 $m$ 个特征值落在 $\epsilon$-区间内的概率。
• 在 Anderson 模型中验证了判据的输入条件，证明其在无序量子系统中的适用性。
• 该框架成功应用于 Bogoliubov-de Gennes 理论中出现的随机块算子。
• 结果为研究具有多个紧密靠近能级的无序系统中的特征值统计提供了一个定量工具。