[论文解读] Eigenvalues, absolute continuity and localizations for periodic unitary transition operators

Tatsuya Tate|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文证明了在周期性酉转移算子（广义的离散时间量子行走）中，局域化现象发生当且仅当系统存在本征值。通过多复变函数的解析摄动理论，证明了连续谱的绝对连续性，并表明当仅存在一个本征值时，转移概率的长时间极限等于投影到本征空间的算子。

ABSTRACT

The localization phenomenon for periodic unitary transition operators on a Hilbert space consisting of square summable functions on an integer lattice with values in a complex vector space, which is a generalization of the discrete-time quantum walks with constant coin matrices, are discussed. It is proved that a periodic unitary transition operator has an eigenvalue if and only if the corresponding unitary matrix-valued function on a torus has an eigenvalue which does not depend on the points on the torus. It is also proved that the continuous spectrum of the periodic unitary transition operators is absolutely continuous. As a result, it is shown that the localization happens if and only if there exists an eigenvalue, and the long time average of the transition probabilities coincides with the point-wise norm of the projection of the initial state to the direct sum of eigenspaces.

研究动机与目标

• 刻画在整数格点上的希尔伯特空间上，周期性酉转移算子发生局域化的条件。
• 利用复分析与谱论工具，证明此类算子的连续谱具有绝对连续性。
• 建立本征值存在性与量子行走中转移概率长时间行为之间的精确联系。
• 通过覆盖图结构，将这些结果推广至拓扑晶格上的酉算子。
• 基于环面上的矩阵值函数及其本征值行为，构建一个谱分析框架。

提出的方法

• 利用傅里叶变换将周期性酉转移算子共轭为环面 $T^d$ 上的乘法算子。
• 通过定义在环面上的酉矩阵值函数 $U(z)$ 分析谱结构，其本征值为 $\lambda_k(z)$。
• 使用多复变函数的解析摄动理论，研究本征值 $\lambda_k(z)$ 作为全纯函数的正则性。
• 应用面积公式（coarea formula）证明与连续谱相关的谱测度关于勒贝格测度是绝对连续的。
• 通过证明本征值函数的梯度在环面几乎处处不为零，证明连续谱部分的谱测度是绝对连续的。
• 在 $T^d \setminus D$ 上构造单位分解，以实现分析的局部化，并将绝对连续性结果全局推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，周期性酉转移算子在长时间极限下表现出局域化？
• RQ2 此类算子的连续谱在何种情况下由绝对连续谱分量构成？
• RQ3 环面上的酉矩阵值函数 $U(z)$ 的本征值如何与 $L^2$-本征函数的存在性相关？
• RQ4 当初始态 $u$ 投影到本征空间时，转移概率 $p_n(u;x)$ 的精确渐近行为是什么？
• RQ5 能否通过覆盖图结构将周期性酉算子的谱理论推广至拓扑晶格？

主要发现

• 周期性酉转移算子存在本征值，当且仅当对应的矩阵值函数 $U(z)$ 在整个环面 $T^d$ 上存在一个恒定本征值。
• 周期性酉转移算子的连续谱关于单位圆上的勒贝格测度是绝对连续的。
• 局域化发生当且仅当至少存在一个本征值，且在位置 $x$ 处转移概率的长时间极限等于初始态在本征空间上投影的 $\ell^2$-范数。
• 当仅存在一个本征值时，任意位置 $x$ 处的长时间转移概率点态收敛于 $\|P u\|^2$，其中 $P$ 为对应本征空间上的投影算子。
• 由于本征值函数 $\lambda_k(z)$ 的梯度在环面几乎处处不为零，因此连续谱部分的谱测度是绝对连续的。
• 通过应用相同的谱分析框架，该结果可推广至覆盖有限图的拓扑晶格上的希尔伯特空间上的酉算子。