[论文解读] Eigenvalues and Singular Value Decomposition of Dual Complex Matrices

Liqun Qi, Ziyan Luo|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2021

Matrix Theory and Algorithms参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文引入了对偶复矩阵的右特征值和右子特征值，证明了 $n\times n$ 对偶复厄米特矩阵恰好具有 $n$ 个实数右特征值和子特征值。本文建立了此类矩阵的完整谱理论，并推导出一般对偶复矩阵的奇异值分解（SVD），通过结构化的代数分解解决了非交换性和零因子问题，将结果扩展至对偶四元数矩阵。

ABSTRACT

We introduce right eigenvalues and subeigenvalues for square dual complex matrices. An $n imes n$ dual complex Hermitian matrix has exactly $n$ right eigenvalues and subeigenvalues, which are all real. The Hermitian matrix is positive semi-definite or definite if and only if all of its right eigenvalues and subeigenvalues are nonnegative or positive, respectively. A Hermitian matrix can be diagonalized if and only if it has no right subeigenvalues. Then we present the singular value decomposition for general dual complex matrices. The results are further extended to dual quaternion matrices.

研究动机与目标

• 开发对偶复矩阵的全面谱理论，解决对偶数中固有的非交换性和零因子问题。
• 为 $n\times n$ 对偶复厄米特矩阵定义并表征右特征值和右子特征值。
• 基于谱性质，为一般对偶复矩阵建立奇异值分解（SVD）。
• 将结果扩展至对偶四元数矩阵，考虑四元数乘法的非交换性与四元数结构。
• 为几何代数、机器人学和计算机图形学中的对偶矩阵分析建立基础框架。

提出的方法

• 将对偶复数定义为 $q = q_0 + q_1\mathbf{i} + q_2\epsilon\mathbf{j} + q_3\epsilon\mathbf{k}$，其中 $\epsilon^2 = 0$，并据此定义矩阵运算。
• 通过方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{x}\lambda$ 定义右特征值，其中 $\lambda$ 为对偶复数，并证明 $\lambda$ 的标准部分对应于 $A_{\text{st}}$ 的复特征值。
• 引入右子特征值及其关联的正交右子特征向量与非零伴随参数，推广特征值重数的概念。
• 证明对偶复厄米特矩阵的右特征值和子特征值为实数，且此类矩阵恰好具有 $n$ 个这样的值。
• 利用厄米特矩阵的谱性质，推导出一般对偶复矩阵的奇异值分解（SVD）。
• 通过将框架适配至非交换四元数乘法及四元数矩阵的右特征值理论，将结果扩展至对偶四元数矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于对偶复矩阵具有非交换性和零因子性质，如何定义其右特征值和子特征值？
• RQ2 $n\times n$ 对偶复厄米特矩阵具有何种谱性质？其与矩阵的标准部分和无穷小部分有何关联？
• RQ3 能否基于其谱分解，为一般对偶复矩阵构造奇异值分解？
• RQ4 在四元数乘法非交换的条件下，对偶复矩阵的谱性质如何推广至对偶四元数矩阵？
• RQ5 在何种条件下，对偶复厄米特矩阵的对角化与正定性可由其特征值和子特征值确定？

主要发现

• 一个 $n\times n$ 对偶复厄米特矩阵恰好具有 $n$ 个右特征值和子特征值，且全部为实数。
• 当且仅当所有右特征值和子特征值均非负（正）时，该矩阵为半正定（正定）。
• 当且仅当不存在右子特征值（即所有特征值均为单重）时，该矩阵可对角化。
• 一般对偶复矩阵的奇异值分解通过厄米特矩阵的谱性质构建，包含 $p$ 个非零奇异值和 $l-p$ 个零奇异值。
• 对偶复矩阵右特征值的标准部分恰好对应于该矩阵标准部分的复特征值。
• 对偶四元数矩阵的扩展需处理非交换乘法，依赖于四元数矩阵的右特征值理论，$n\times n$ 四元数矩阵具有 $2n$ 个右特征值。