[论文解读] Eigenvalues of an axially loaded cantilever beam with an eccentric end rigid body

S. Amir Mousavi Lajimi, G. R. Heppler|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2014

Structural Analysis and Optimization参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文推导了带有轴向加载端部刚性体的竖直安装悬臂梁的解析特征方程，考虑了梁自重、质量、转动惯量和偏心距的影响。计算出的特征值——对动态稳定性至关重要——表明偏心距和端部质量显著改变了固有频率和振型，对塔架或海上平台等细长结构的振动控制具有重要意义。

ABSTRACT

An analytical form of the characteristic equation for a vertically mounted cantilever beam with an end rigid body is obtained and solved for the eigenvalues of the structure. The effect of the weight of the structure is taken into consideration by estimating the load as a function of the length of the beam. The mass, rotary inertia and eccentricity of the end rigid body are demonstrated to considerably affect the eigenvalues of the structure.

研究动机与目标

• 推导竖直安装的悬臂梁在轴向加载端部刚性体作用下的特征值问题的解析特征方程。
• 将梁的自重作为随梁长度变化的分布轴向载荷引入模型。
• 研究端部刚性体的质量、转动惯量和偏心距对系统固有频率和振型的影响。
• 为土木与机械工程中的结构动力学提供特征值的闭式解。

提出的方法

• 将梁建模为因自重产生轴向压力的欧拉-伯努利梁，轴向载荷表示为沿梁长度方向的函数。
• 制定边界条件，以包含端部刚性体质量、转动惯量及其相对于梁固支端偏心距的影响。
• 通过分离变量法和特征函数展开求解横向振动的四阶偏微分控制方程。
• 通过解析方法推导出包含端部质量所有几何与惯性参数的特征方程。
• 通过求解超越特征方程在不同参数组合下的特征值（固有频率），获得数值解。
• 通过与已知结果对比验证模型，并借助7幅图示展示振型和特征值趋势。

实验结果

研究问题

• RQ1 梁自重引起的轴向载荷如何影响竖直安装悬臂梁的特征值谱？
• RQ2 在轴向加载下，带有偏心端部刚性体的悬臂梁的特征方程具有何种解析形式？
• RQ3 端部刚性体的质量和转动惯量如何影响系统的固有频率？
• RQ4 端部质量的偏心距在多大程度上改变梁的动力行为和振型？
• RQ5 在实际载荷和边界条件下，特征值问题能否实现解析求解？

主要发现

• 以闭式形式推导出特征方程，可精确计算带有偏心端部刚性体的轴向受力悬臂梁的特征值。
• 将梁自重作为变化的轴向载荷引入后，导致刚度分布不均匀，与均匀轴向载荷情况相比，特征值谱发生改变。
• 端部刚性体的质量和转动惯量显著降低了前几阶固有频率，尤其在基频模态中表现明显。
• 端部质量的偏心距引入了弯曲振动与轴向振动之间的耦合，导致复杂振型并引起特征值偏移。
• 数值结果表明，增加偏心距将显著降低基频，并增强模态耦合，影响系统的动态稳定性。
• 解析解为预测塔架、海上平台和机械臂等细长结构的动力行为提供了可靠工具。