[论文解读] Eigenvalues of Laplacian and multi-way isoperimetric constants on weighted Riemannian manifolds

Kei Funano|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 42被引用 19

一句话总结

本论文在非负 Bakry-Émery Ricci 曲率的闭加权黎曼流形上，建立了加权拉普拉斯算子特征值与多路等周常数之间的定量普遍不等式。通过热半群方法与测度集中性论证，证明了第 $k$ 个特征值与 $k$-路等周常数在 $k$ 的多项式因子范围内等价，且界中对 $k$ 具有显式的指数依赖关系。

ABSTRACT

We investigate the distribution of eigenvalues of the weighted Laplacian on closed weighted Riemannian manifolds of nonnegative Bakry-Émery Ricci curvature. We derive some universal inequalities among eigenvalues of the weighted Laplacian on such manifolds. These inequalities are quantitative versions of the previous theorem by the author with Shioya. We also study some geometric quantity, called multi-way isoperimetric constants, on such manifolds and obtain similar universal inequalities among them. Multi-way isoperimetric constants are generalizations of the Cheeger constant. Extending and following the heat semigroup argument by Ledoux and E. Milman, we extend the Buser-Ledoux result to the $k$-th eigenvalue and the $k$-way isoperimetric constant. As a consequence the $k$-th eigenvalue of the weighted Laplacian and the $k$-way isoperimetric constant are equivalent up to polynomials of $k$ on closed weighted manifolds of nonnegative Bakry-Émery Ricci curvature.

研究动机与目标

• 推导闭加权黎曼流形上加权拉普拉斯算子特征值之间的普遍定量不等式，其 Bakry-Émery Ricci 曲率为非负。
• 将 Buser-Ledoux 型不等式推广至第 $k$ 个特征值与 $k$-路等周常数，从而推广 Cheeger 常数。
• 通过可观测直径与测度集中性，建立第 $k$ 个特征值与 $k$-路等周常数之间的无维数界。
• 研究在非负曲率条件下，特征值与等周比值关于 $k$ 的稳定性及多项式依赖性。

提出的方法

• 将 Ledoux 与 E. Milman 的热半群方法适配，以分析高阶谱与等周量。
• 引入 $k$-分离的概念，以推广测度集中性，并将其与特征值及等周常数联系起来。
• 利用 Davies-Gaffney 热核估计与谱渐近性，控制集合上热含量的衰减。
• 将可观测直径 $\text{ObsDiam}_{\mathbb{R}}((M,\mu); -\kappa)$ 作为直径的无维数替代，通过集中不等式将其与特征值联系起来。
• 通过 $h_k(M,\mu)$，即 $k$-路等周常数，应用迭代体积衰减估计，以界定集合并集邻域测度的上界。
• 通过迭代应用等周不等式，利用与维数无关的常数 $c$，推导出关于 $k$ 的指数界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非负 Bakry-Émery Ricci 曲率的闭加权黎曼流形，比值 $\lambda_k(M,\mu)/\lambda_1(M,\mu)$ 是否能被 $k$ 的多项式所有界？
• RQ2 第 $k$ 个等周常数 $h_k(M,\mu)$ 是否与第 $k$ 个特征值 $\lambda_k(M,\mu)$ 在 $k$ 的多项式因子范围内等价？
• RQ3 特征值比中对 $k$ 的指数依赖关系能否改进为多项式界？抑或 $\exp(ck)$ 是最优的？
• RQ4 在集中拓扑下或在非负曲率的 Alexandrov 空间中，特征值与等周常数的稳定性是否成立？
• RQ5 E. Milman 的集中到谱不等式能否推广至一般 CD$(0,\infty)$ 空间中的 $k$-分离与第 $k$ 个特征值？

主要发现

• 存在与维数无关的绝对常数 $c>0$，使得第 $k$ 个特征值满足 $\lambda_k(M,\mu) \leq \exp(ck)\lambda_1(M,\mu)$。
• $k$-路等周常数 $h_k(M,\mu)$ 满足 $\lambda_k(M,\mu) \lesssim \exp(ck) h_k(M,\mu)^2$，表明其与特征值在 $\exp(ck)$ 因子范围内等价。
• 可观测直径满足 $\text{ObsDiam}_{\mathbb{R}}((M,\mu); -\kappa) \leq \frac{\exp(ck)}{\sqrt{\lambda_k(M,\mu)}} \log \frac{1}{\kappa}$，推广了 Gromov-V. Milman 的第一特征值结果。
• 对任意 $k$，比值 $\lambda_k(M,\mu)/\lambda_1(M,\mu)$ 与 $h_k(M,\mu)/h_1(M,\mu)$ 均被 $\exp(ck)$ 所有界，且该界与维数无关。
• 证明依赖于通过 $h_k(M,\mu)$ 的迭代体积衰减，表明若 $k+1$ 个集合不满足 $k$-分离，则其并集的邻域测度较小。
• 结果可推广至具有 $C^2$ 边界的凸区域，在 Neumann 边界条件下，证明结构保持不变。