[论文解读] Eigenvalues of rank one perturbations of unstructured matrices

André C. M. Ran, Michał Wojtylak|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2011

Matrix Theory and Algorithms参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文分析了复矩阵 $ A $ 和向量 $ u,v $ 的秩一扰动 $ A + \tau uv^T $ 的特征值动力学，表明对于一般 $ u,v $，复平面上的特征值曲线除可能在 $ A $ 的特征值处外不会相交。关键结果是：在 $ \sigma(A) $ 之外出现重特征值（即曲线相交）的情况仅在测度为零的集合上发生，从而解释了随机 $ u,v $ 的数值模拟中未观察到交叉现象的实验事实。

ABSTRACT

Let $A$ be a fixed complex matrix and let $u,v$ be two vectors. The eigenvalues of matrices $A+τuv^ op $ $(τ\in\mathbb{R})$ form a system of intersecting curves. The dependence of the intersections on the vectors $u,v$ is studied.

研究动机与目标

• 理解 $ \tau \in \mathbb{R} $ 时特征值曲线 $ \sigma(A + \tau uv^T) $ 的一般行为，特别是为何数值模拟显示在 $ \sigma(A) $ 之外无交点。
• 刻画使得 $ A + \tau uv^T $ 在 $ \sigma(A) $ 之外具有重特征值的 $ (u,v) $ 对，尤其针对实数 $ \tau $。
• 建立对于一般 $ u,v $，此类重特征值在测度上极为稀少（测度为零），从而解释模拟中未观察到交叉现象的原因。
• 将分析从 $ \tau $ 较小的情形扩展至特征值曲线的全局行为，运用代数几何与结式理论。
• 为复数 $ \tau $ 完整描述 $ A + \tau uv^T $ 的谱结构，最终得出实数 $ \tau $ 的结果。

提出的方法

• 本文使用两个多项式的结式来检测公共根，这些根对应于 $ A + \tau uv^T $ 的重特征值，从而实现对交点的代数刻画。
• 构造多项式 $ f_{uv}(\lambda) $，其为矩阵 $ A $ 的特征多项式 $ m(\lambda) $ 与扰动项 $ p_{uv}(\lambda) = v^T(\lambda I - A)^{-1}u $ 的组合，其零点指示潜在的重特征值。
• 通过分析 $ f_{uv}(\lambda) $ 的次数和首项系数，本文表明对于一般 $ u,v $，$ f_{uv} $ 恰好有 $ k = \max\{(r-1)(l-1), r(l-2)\} $ 个不在 $ \sigma(A) $ 中的互异零点，其中 $ r $ 为 $ A $ 的互异特征值个数，$ l $ 为最大若尔当块的大小。
• 利用隐函数定理，证明特征值 $ \lambda_j(u,v) $ 在 $ \mathbb{C}^{2n} $ 的一个稠密开子集 $ V_0 \subset \mathbb{C}^{2n} $ 上是全纯函数，从而实现对光滑依赖关系的分析。
• 证明导致某些实数 $ \tau $ 产生重特征值的 $ (u,v) $ 对的集合 $ V $ 包含于有限个测度为零的集合的并集中，利用全纯函数的唯一性原理。
• 通过证明比值 $ v^T(\lambda_j - A)^{-1}u \in \mathbb{R} $ 定义了一个非常值全纯函数，本文建立该函数的实数原像在 $ \mathbb{C}^{2n} $ 中的勒贝格测度为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般 $ u,v \in \mathbb{C}^n $，特征值曲线 $ \sigma(A + \tau uv^T) $（$ \tau \in \mathbb{R} $）的一般行为是什么，特别是关于交点的问题？
• RQ2 对于哪些 $ (u,v) \in \mathbb{C}^{2n} $，$ A + \tau uv^T $ 在 $ \sigma(A) $ 之外具有重特征值？这种现象有多常见？
• RQ3 矩阵 $ A $ 的若尔当标准型结构如何影响扰动系统中潜在重特征值的数量与位置？
• RQ4 能否代数与拓扑方式刻画导致某些实数 $ \tau $ 产生重特征值的 $ (u,v) $ 对？
• RQ5 此类 $ (u,v) $ 对在 $ \mathbb{C}^{2n} $ 中的测度论普遍性如何？这是否能解释数值实验中未出现交叉现象？

主要发现

• 对于一般 $ u,v \in \mathbb{C}^n $，所有不属于 $ \sigma(A) $ 的 $ A + \tau uv^T $ 的特征值在所有 $ \tau \in \mathbb{R} \setminus \{0\} $ 下均为单重，从而解释了模拟中未出现曲线交叉的现象。
• 集合 $ V \subset \mathbb{C}^{2n} $ 表示使得 $ A + \tau uv^T $ 对某个实数 $ \tau $ 在 $ \sigma(A) $ 之外具有重特征值的 $ (u,v) $ 对，该集合是闭集，内部为空，且具有 $ 4n $ 维勒贝格测度零。
• 在 $ \sigma(A) $ 之外的重特征值仅在 $ v^T(\lambda_j - A)^{-1}u \in \mathbb{R} $ 时出现，而由于该函数是非常值全纯函数，其实数原像的测度为零。
• 潜在重特征值位置的数量受 $ k = \max\{(r-1)(l-1), r(l-2)\} $ 限制，其中 $ r $ 为 $ A $ 的互异特征值个数，$ l $ 为其最大若尔当块的大小。
• 对于一般 $ u,v $，特征值曲线 $ \sigma(A + \tau uv^T) $（$ \tau \in \mathbb{R} $）仅在 $ \sigma(A) $ 中的点相交，且此类交点是孤立的。
• 该分析表明，霍尔曼德-梅林关于秩一扰动下若尔当结构保持性的结果，与实数 $ \tau $ 下扰动谱中无一般重特征值的现象是一致的。