[论文解读] Eigenvalues of transformations arising from irrational rotations and step functions. (Valeurs propres de transformations liées aux rotations irrationnelles et aux fonctions en escalier)

Mélanie Guenais, François Parreau|arXiv (Cornell University)|May 10, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文建立了在环面上的无理旋转与阶梯函数涉及的上同调方程存在可测解的必要且充分条件。它刻画了柱面流、特殊流及三区间交换变换的特征值与特征函数，从而实现了具有无穷秩Kronecker因子以及与旋转或 odometer 非平凡共轭的系统构造，并在Diophantine条件下对光滑屋顶函数提供了正则化结果。

ABSTRACT

Given an irrational rotation $T$ on $\M T$ we settle necessary and sufficient conditions on a step function $ϕ$ and $t\in \M T$ for the existence of measurable solutions to the cohomogical equation $$\exp{(2iπϕ)}=\e{2iπt}f/f ond T.$$ This yields a characterization of eigenvalues and eigenfunctions for several transformations arising from irrational rotations and step functions: cylinder flows, special flows, induced maps... From there we give constructions of special flows and three-interval exchange transformations with unusual spectral properties. In both cases we exhibit examples with Kronecker factors of infinite rank. We also construct three-interval exchange transformations which are non-trivially conjugate to irrational rotations or to odometers. Similarly there exist special flows over irrational rotations which are non-trivially conjugate to translations flows on $\M T^2$ or on solenoids. Finally, we prove a regularization property which allows us to give similar examples of special flows with smooth ceiling functions, under natural Diophantine conditions for the rotation.

研究动机与目标

• 刻画由无理旋转与阶梯函数产生的动力系统之特征值与特征函数。
• 构造具有异常谱性质（包括无穷秩Kronecker因子）的特殊流与三区间交换变换。
• 建立特殊流/三区间交换变换与旋转或 odometer 之间的非平凡共轭关系。
• 在Diophantine条件下，为具有光滑屋顶函数的特殊流提供正则化结果。

提出的方法

• 分析环面上无理旋转 $T$ 与阶梯函数 $\phi$ 的上同调方程 $\exp(2i\pi\phi) = e^{2i\pi t} f / (f \circ T)$。
• 利用Ostrowski分解与连分数逼近刻画可测解。
• 采用基于区域的方法，以连分数渐近逼近 $q_n$ 为基本区域索引。
• 应用Diophantine逼近条件控制 $\|\beta q_n\|$，确保转移函数的收敛性。
• 通过迭代逼近构造特征函数，并证明其几乎处处可测且非零。
• 应用正则化技术，表明在Diophantine条件下，共轭于阶梯函数的函数可被共轭为 $C^r$ 或解析函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，阶梯函数 $\phi$ 与参数 $t$ 使得上同调方程 $\exp(2i\pi\phi) = e^{2i\pi t} f / (f \circ T)$ 存在可测解 $f$？
• RQ2 哪些特殊流与三区间交换变换具有生成无穷秩Kronecker因子的特征值？
• RQ3 在何种条件下，特殊流或三区间交换变换可与无理旋转或 odometer 非平凡共轭？
• RQ4 在何种Diophantine条件下，阶梯函数可共轭于光滑或解析函数？

主要发现

• 给出了上同调方程存在可测解的必要且充分条件，其条件以 $\beta$ 与 $t$ 的Diophantine逼近性质表达。
• 可构造出具有生成无穷秩Kronecker因子的特征值的特殊流与三区间交换变换。
• 存在三区间交换变换非平凡共轭于无理旋转或 odometer，且存在特殊流非平凡共轭于 $\mathbb{T}^2$ 上的平移流或Solenoids。
• 在自然的Diophantine条件下，上同调方程中的阶梯函数可正则化为 $C^r$ 或解析函数，同时保持谱性质不变。
• 特征函数的构造依赖于连分数渐近逼近 $q_n$ 上转移函数的强收敛性，且对 $\|\beta q_n\|$ 实施控制。
• 本文提供了具有纯离散谱与非平凡谱共轭的系统显式构造，扩展了已知的谱刚性结果。