[论文解读] Eigenvalues, Smith normal form and determinantal ideals

Aida Abiad, Carlos A. Alfaro+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2019

Graph theory and applications参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文建立了图的整数矩阵的特征值、史密斯标准型（SNF）与行列式理想之间的新联系。证明了若一个特征值属于第k个单变量整数行列式理想的零点集，则它整除SNF的第k个不变因子，从而推广了Rushanan的结果。主要贡献在于对共行列式图（即共享相同单变量行列式理想的图）进行了特征刻画，提供了一个统一框架，将共谱图与同不变因子图的概念统一起来，且完全图与星图可由其距离拉普拉斯矩阵的SNF唯一确定。

ABSTRACT

Determinantal ideals of graphs generalize, among others, the spectrum and the Smith normal form (SNF) of integer matrices associated to graphs. In this work we investigate the relationship of the spectrum and the SNF with the determinantal ideals. We show that an eigenvalue divides the $k$-th invariant factor of its SNF if the eigenvalue belongs to a variety of the $k$-th univariate integer determinantal ideal of the matrix. This result has as a corollary a theorem of Rushanan. We also study graphs having the same determinantal ideals with at most one indeterminate; the socalled codeterminantal graphs, which generalize the concepts of cospectral and coinvariant graphs. We establish a necessary and sufficient condition for graphs to be codeterminantal on $\mathbb{R}[x]$, and we present some computational results on codeterminantal graphs up to 9 vertices. Finally, we show that complete graphs and star graphs are determined by the SNF of its distance Laplacian matrix.

研究动机与目标

• 研究图相关整数矩阵的特征值、史密斯标准型（SNF）与行列式理想之间的关系。
• 通过引入共行列式图（即共享相同单变量行列式理想的图）的概念，推广共谱图与同不变因子图的概念。
• 为图在ℝ[x]上共行列式提供必要且充分条件，并刻画此类图何时也共谱或同不变因子。
• 评估各类行列式理想（特别是ℤ[x]上的单变量理想）在识别至多9个顶点的图时的区分能力。
• 证明完全图与星图可由其距离拉普拉斯矩阵的SNF唯一确定。

提出的方法

• 论文使用由xI − M(G)的k阶子式生成的ℤ[x]中单变量行列式理想，其中M(G)是图G关联的整数矩阵。
• 应用代数几何与格罗布纳基理论分析这些理想在ℤ[x]和ℝ[x]中的结构，研究其零点集与特征值的联系。
• 采用计算枚举方法分析所有至多9个顶点的连通图，计算SNF、谱与行列式理想，比较其区分能力。
• 证明：若一个图由其谱唯一确定，则它也由其在ℤ[x]中的单变量行列式理想唯一确定，利用了Inℤ(Mx)由det(Mx)生成的事实。
• 通过距离拉普拉斯矩阵的史密斯标准型刻画完全图与星图，表明其SNF可唯一识别这些图。
• 应用交换代数中的结果，包括行列式理想与不变因子理论，推导特征值与不变因子之间的整除关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，矩阵的特征值整除其史密斯标准型的第k个不变因子？
• RQ2 两个图在ℝ[x]上共行列式的必要且充分条件是什么？
• RQ3 共行列式图与共谱图、同不变因子图之间有何关系？
• RQ4 哪些行列式理想在区分非同构图（尤其是小图）方面最有效？
• RQ5 完全图与星图是否可由其距离拉普拉斯矩阵的史密斯标准型唯一确定？

主要发现

• 若一个特征值属于第k个单变量整数行列式理想的零点集，则它整除SNF的第k个不变因子，从而推广了Rushanan定理。
• 在ℝ[x]上，共行列式图由其单变量行列式理想的结构给出必要且充分条件。
• ℤ[x]中的单变量行列式理想在区分图方面最有效，因其统一了谱信息与SNF信息。
• 在所研究的所有矩阵（邻接矩阵、拉普拉斯矩阵、距离矩阵、距离拉普拉斯矩阵）中，距离拉普拉斯矩阵的SNF在区分至多9个顶点的图方面表现最佳。
• 完全图与星图可由其距离拉普拉斯矩阵的SNF唯一确定，通过分析ℤ[n,m]中2阶子式理想的格罗布纳基得到证明。
• 若一个图由其谱唯一确定，则它也由其在ℤ[x]中的单变量行列式理想唯一确定，因为最后一个理想由行列式生成。