[论文解读] Eigenvarieties for classical groups and complex conjugations in Galois representations

Olivier Taïbi|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 15

一句话总结

本文在理查德·泰勒关于全实域上GL_{2n+1}和GL_{2n}的正则、代数、本质自对偶、尖点自守表示的p进伽罗瓦表示中复共轭作用像的定理基础上，去除了不可约性假设。通过在辛群与偶正交群的特征值簇上使用p进变形理论，并借助亚瑟的端锥分类，作者证明了对于此类表示，伽罗瓦表示中复共轭的迹满足 |Tr(ρ(c))| ≤ 1，且等号仅在特定情形成立，从而将已知结果推广至非不可约表示。

ABSTRACT

The goal of this paper is to remove the irreducibility hypothesis in a theorem of Richard Taylor describing the image of complex conjugations by $p$-adic Galois representations associated with regular, algebraic, essentially self-dual, cuspidal automorphic representations of $\\GL_{2n+1}$ over a totally real number field $F$. We also extend it to the case of representations of $\\GL_{2n}/F$ whose multiplicative character is "odd". We use a $p$-adic deformation argument, more precisely we prove that on the eigenvarieties for symplectic and even orthogonal groups, there are "many" points corresponding to (quasi-)irreducible Galois representations. The recent work of James Arthur describing the automorphic spectrum for these groups is used to define these Galois representations, and also to transfer self-dual automorphic representations of the general linear group to these classical groups.

研究动机与目标

• 去除理查德·泰勒定理中关于全实域上GL_{2n+1}的正则、代数、本质自对偶、尖点自守表示的p进伽罗瓦表示中复共轭作用像的不可约性假设。
• 将结果扩展至具有“奇”乘法特征的GL_{2n}/F表示，尤其在表示未必不可约的情况下。
• 在辛群与偶正交群的特征值簇上，利用p进变形技术证明存在“大量”对应于（拟）不可约伽罗瓦表示的点。
• 利用亚瑟关于经典群自守谱的近期工作，定义并实现从GL_N到辛群与偶正交群的伽罗瓦表示转移。

提出的方法

• 通过p进自守形式与阿特金-勒纳代数，构造定值辛群与偶正交群的特征值簇。
• 证明小斜率的p进特征形式是经典的，并且特征值簇上的大多数点均来自未被分歧且完全可精化表示。
• 利用亚瑟对离散谱的描述，在特征值簇上定义伽罗瓦表示，尤其针对GL_{2n+1}与GL_{2n}的自对偶表示。
• 在特征值簇上建立伽罗瓦伪特征标，并证明其关联的伽罗瓦表示在一般情况下几乎不可约。
• 应用p进变形论证，证明结晶表示在特征值簇上连续变化，从而实现对复共轭作用像的控制。
• 通过基变换与诱导，将问题约化至具有伊瓦霍里不变量的情形，从而可应用基于朗兰兹参数的迹界已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否去除泰勒定理中关于p进伽罗瓦表示中复共轭迹的不可约性假设？
• RQ2 当表示未必不可约时，全实域上GL_{2n}/F的正则、代数、本质自对偶、尖点自守表示的伽罗瓦表示中，复共轭的像为何？
• RQ3 如何利用经典群的特征值簇研究伽罗瓦表示及其在复共轭下的迹的变化？
• RQ4 亚瑟的端锥分类在多大程度上可用于将伽罗瓦表示从GL_N转移至辛群与偶正交群？
• RQ5 在何种条件下，此类伽罗瓦表示中复共轭的迹满足 |Tr(ρ(c))| ≤ 1？

主要发现

• 本文证明，对于全实域F上GL_{2n+1}/F的正则、代数、本质自对偶、尖点表示，其关联的p进伽罗瓦表示中复共轭的迹满足 |Tr(ρ(c))| ≤ 1，即使不假设不可约性。
• 对于具有“奇”乘法特征的GL_{2n}/F，若满足适当的正则性与自对偶条件，同样有 |Tr(ρ(c))| ≤ 1。
• 在GL_{2n}/F且η_∞(−1) = 1，且朗兰兹参数形式为∑ Ind_{W_R}^{W_C}(z ↦ (z/̄z)^{r_i}) 的情形，复共轭的迹恰好为0。
• 辛群与偶正交群的特征值簇包含“大量”对应于（拟）不可约伽罗瓦表示的点，该结论通过p进变形技术建立。
• 与这些特征值簇上自守形式相关的伽罗瓦表示在一般情况下几乎不可约，且其结晶弗罗贝尼乌斯连续变化，从而实现对迹的控制。
• 通过基变换至可解扩张，将结果推广至非正则情形，此时基变换后的表示获得伊瓦霍里不变量，从而可应用主定理。