[论文解读] Eigenvarieties for non-cuspidal modular forms over certain PEL Shimura varieties

Riccardo Brasca, Giovanni Rosso|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通过引入尖形式度滤子，构建了 PEL 型 Shimura 簧上非尖 $p$-adic 模形式的特征簇，使得 Buzzard 的特征簇机制可应用于非尖族。关键结果在温和假设下证明了 Urban 对 $GSp_4$ 特征簇的分支维数猜想，将此前对尖形式的工作扩展至 Eisenstein 系列与非典型族。

ABSTRACT

Generalising the recent method of Andreatta, Iovita, and Pilloni for cuspidal forms, we construct an eigenvariety for symplectic and unitary groups that parametrises systems of eigenvalues of overconvergent and locally analytic $p$-adic automorphic forms. This is achieved by gluing some intermediates eigenvarieties of a fixed 'degree of cuspidality'. The dimension of these eigenvarieties is explicit and depends on the degree of cuspidality, it is maximal for cuspidal forms and it is $1$ for forms that are 'not cuspidal at all'. Under mild assumption, we are able to prove a conjecture of Urban about the dimension of the irreducible components of Hansen's eigenvariety in the case of the group $\\mathrm{GSp}_4$ over $\\mathbb{Q}$.

研究动机与目标

• 将特征簇的构造从尖形式扩展至 PEL 型 Shimura 簧上的非尖 $p$-adic 模形式。
• 通过按尖形式度进行滤子划分，解决 Buzzard 特征簇机制中的技术障碍——非尖形式空间的非紧致性。
• 为每个尖形式度构造并粘合中间特征簇，从而为非尖族建立一致且紧致的框架。
• 在 $ GSp_4$ 上证明 Urban 对 Hansen 特征簇不可约分支维数的猜想，尤其针对 Eisenstein 系列。
• 在统一的上同调框架下，将 Hida 型典型族与 Kisin–Lai 型 Eisenstein 族整合为一体。

提出的方法

• 在 $p$-adic 模形式上引入尖形式度滤子，将其划分为子空间，在温和假设下使这些子空间在权空间上为紧致。
• 利用 Buzzard 的抽象机制，为每个固定的尖形式度构造中间特征簇，该机制要求形式空间的紧致性。
• 在 Shimura 簧的刚性解析纤维上使用层 $ω_{v,w}^{\dagger\chi_{\mathcal{U}}^{\text{un}}}$，实现对超越形式与局部解析形式在不同权之间的插值。
• 应用 Hecke 代数作用，包括完全连续的 $ U_p$-算子，以在特征簇参数空间中定义特征形式。
• 通过不同尖形式度之间特征值的相容性，将中间特征簇粘合在一起，同时保持等维性。
• 使用上同调技术，包括边界上 Toroidal 紧化处的 Eichler–Shimura 同构与谱序列，分析 Eisenstein 系列的上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在标准紧致性条件不成立的 PEL 型 Shimura 簧上，为非尖 $p$-adic 模形式构造特征簇？
• RQ2 参数化非尖形式（尤其是 Eisenstein 系列）的特征簇分支的维数是多少？其与权空间的关系如何？
• RQ3 Urban 对 $ GSp_4$ 特征簇不可约分支维数的猜想是否对非典型、非尖族成立？
• RQ4 当模形式空间非紧致时，如何调整 Buzzard 的特征簇构造？
• RQ5 Eisenstein 系列的上同调结构在多大程度上可用于分类特征簇并预测分支维数？

主要发现

• 通过按尖形式度滤子划分形式，构建了非尖形式的特征簇，每个滤子子空间均为紧致，从而可应用 Buzzard 的机制。
• 每个中间特征簇的维数取决于尖形式度：尖形式时维数最大，而完全不尖的形式维数恰好为 1。
• 在温和假设下，证明了 Urban 对 $ GSp_4$ 特征簇不可约分支维数的猜想，确认其维数与经典 Eisenstein 系列的总权空间维数一致。
• 对于对应于 Klingen 或 Siegel Eisenstein 系列（排除权 $(3,3)$）的典型点，特征簇的不可约分支 $ I$ 维数为 2，与 Urban 的预测一致。
• 通过谱序列对边界上同调的分类，确认 Eisenstein 特征系统出现在连续的上同调度（如 2 和 3）中，支持了维数预测。
• 该构造将 Hida 型典型族与 Kisin–Lai 型 Eisenstein 族统一于单一一致的上同调框架下，扩展了此前仅限于尖形式的结果。