[论文解读] Eight lectures on Oka manifolds

Finnur Lárusson|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文为Oka流形提供了一篇易于理解的导论，Oka流形是一类在复几何中具有‘灵活性’的复流形，其上的全纯映射从Stein流形出发时满足强延拓与逼近性质。本文建立了Oka流形与Stein流形之间的对偶性，并证明了某些紧致复曲面——特别是极小Enoki曲面——是Oka流形，而它们的退化形式（Inoue-Hirzebruch曲面）则不是，从而表明Oka性质在紧致复流形族中不具有闭包性。

ABSTRACT

Over the past decade, the class of Oka manifolds has emerged from Gromov's seminal work on the Oka principle. Roughly speaking, Oka manifolds are complex manifolds that are the target of "many" holomorphic maps from affine spaces. They are "dual" to Stein manifolds and "opposite" to Kobayashi-hyperbolic manifolds. The prototypical examples are complex homogeneous spaces, but there are many other examples: there are many ways to construct new Oka manifolds from old. The class of Oka manifolds has good formal properties, partly explained by a close connection with abstract homotopy theory. These notes were prepared for lectures given at the Institute of Mathematics of the Chinese Academy of Sciences in Beijing in May 2014. They are meant to give an accessible introduction, not to all of Oka theory, but more specifically to Oka manifolds, how they arise and what we know about them.

研究动机与目标

• 为不熟悉该领域的研究人员提供一份自包含且易于理解的Oka流形导论。
• 阐明复几何中Oka流形与Stein流形之间的对偶性。
• 研究Oka类在形变与退化下的稳定性与闭包性质。
• 通过具体例子证明Oka性质在紧致复流形族中不被保持。
• 通过覆盖空间与支配性质，将Oka理论与同伦理论及拟凸函数理论联系起来。

提出的方法

• 使用Gromov的线性化方法及椭圆性概念来定义和刻画Oka流形。
• 通过全纯单位分解与光滑到全纯的上链逼近，应用同伦提升性质。
• 利用Stein流形理论与连续映射构造连续映射与全纯映射之间的同伦。
• 应用Brody重参数化引理及其在高维中的局限性，分析双曲性与反双曲性。
• 通过爆破与边界识别构造紧致复曲面的显式族，生成Kato曲面。
• 应用全局球壳猜想与类VII曲面的分类，以区分Oka与非Oka例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，从Stein流形到复流形的每个连续映射都能同伦到全纯映射？
• RQ2 哪些紧致复曲面是Oka的，它们在形变下如何表现？
• RQ3 Oka性质在紧致复流形族的形变下是否保持？
• RQ4 拟凸函数在判断流形是否为Oka流形中起什么作用？
• RQ5 支配性、C-连通性与强Liouville性质与Oka性质有何关联？

主要发现

• 从Stein流形到$\mathbb{C}^*$的每个连续映射都同伦于全纯映射，展示了该目标的灵活性。
• 从Stein流形到Oka流形的全纯映射空间，在紧开拓扑下稠密于连续映射空间。
• 极小Enoki曲面是Oka的，因为其万有覆叠是Stein的，且存在从$\mathbb{C}^n$出发的全纯支配映射。
• Inoue-Hirzebruch曲面不是Oka的，因为其万有覆叠上存在非平凡的负拟凸函数。
• Dloussky的曲面族表明Oka性质在族中不闭包：一般纤维是Oka的（Enoki），但中心纤维不是（Inoue-Hirzebruch）。
• Brody重参数化引理不能推广到高维，意味着基于双曲性的开性论证对Oka型性质不成立。